Funciones generadoras: particiones de enteros

Question

Estoy un poco atascado en un problema que involucran el uso de funciones de generación para determinar el número de posibles soluciones de una ecuación. He intentado solucionar el problema siguiendo un ejemplo en mi libro de texto, sin embargo estoy seguro todavía si me han respondido correctamente el problema.

El problema de la siguiente manera:

Buscar la generación de la función de la número de número entero soluciones de:

a) $2w + 3x +5y + 7z = n$ donde $0 \leq w, x, y, z$

b) $2w + 3x + 5y + 7z = n$ donde $ 0 \leq w, 4 \leq x, y, 5 \leq z$

Ahora, el trabajo que hasta ahora he tratado de hacer es asignar las siguientes funciones a cada uno de los términos:

$2w = 1+a^2+a^4+a^6+ ..$

$3x = 1 + a^3 + a^6 + a^9+..$

$5y = 1 + a^5 + a^{10} +a^{15} +..$

$7z = 1+a^7+a^{14}+a^{21}+..$

De nuevo, sólo he seguido el ejemplo en el libro de texto como estoy seguro de qué hacer. Alguien podría explicar qué significa esto? (si es correcto?)

Entonces, me he encontrado con la generación de la función multiplicando estos valores:

$$f(x)=(1+a^2+a^4+..)(1+a^3+a^6+..)(1+a^5+a^10+..)(1+a^7+a^14+..) $$

Ahora, hasta donde yo sé, esta es una válida de generación de función. Sin embargo, mi libro de texto lleva un paso más, y he seguido el ejemplo:

$$f(x)=\frac{1}{1-x^2}*\frac{1}{1-x^3}*\frac{1}{1-x^5}*\frac{1}{1-x^7}$$

No entiendo el paso que se da aquí, pero esto es lo que he venido con mi respuesta final a una).

Ahora para b), me he tomado las ecuaciones que he forrado y simplemente elimina los anteriores términos, de acuerdo a las restricciones en $w,x,y,z$

$2w = 1+a^2+a^4+a^6+ ..$

$3x = a^9+a^{12}+..$

$5y = a^{15} + a^{20}+..$

$7z = a^{28}+a^{35}+..$

Si alguien puede dar un punto de vista que aquí me sería de gran aprecio. Estoy teniendo un poco de problemas con mi combinatoria de clase..

Saludos a todos

Answer 1

El paso de$$f(x)=(1+a^2+a^4+\ldots)(1+a^3+a^6+\ldots)(1+a^5+a^{10}+\ldots)(1+a^7+a^{14}+\ldots)$$ to $$f(x)=\frac1{(1-a^2)(1-a^3)(1-a^5)(1-a^7)}\tag{1}$ $ solo usa la fórmula para la suma de una serie geométrica. Por ejemplo,

PS

Y sí,$$1+a^5+a^{10}+\ldots=\sum_{k\ge 0}a^{5k}=\sum_{k\ge 0}\left(a^5\right)^k=\frac1{1-a^5}\;.$ es correcto para el primer problema.

Has hecho el comienzo correcto en el segundo problema; ahora todo lo que tienes que hacer es sumar esas series geométricas. Por ejemplo,

$(1)$$$a^9+a^{12}+a^{15}+\ldots=\sum_{k\ge 3}a^{3k}=\sum_{k\ge 3}\left(a^3\right)^k=\frac{a^9}{1-a^3}$ (1) $, pero un numerador diferente.