Si estuviera tratando de tomar el número $123$ en la base $10$ y tratar de convertirlo en base cero haría algo así:
$123 = 100 + 20 + 3$
$10^{\log_0(100)} + 10^{\log_0(20)} + 10^{\log_0(3)}$
Pero $\log_0(x)$ es lo mismo que $\dfrac{\log(x)}{\log(0)}$ y el logaritmo de cero es indefinido. Entonces, ¿hay alguna otra forma de convertir a base cero? ¿O la base cero simplemente no existe?
La base 0 no tiene ningún sentido matemático.
Fíjate en el binario (base 2). Hay dos dígitos, el 0 y el 1. Por lo tanto, cada dos números hay que volver a pasar el 1 a un cero, y añadir un 1 a la siguiente columna.
Ahora, mira la base 1. Ahora, cada número requiere pasar a la siguiente fila. Esto es esencialmente un sistema de conteo, donde cada "1" (en base diez) tiene su propia columna.
Ahora bien, si se piensa en la base 0, eso significaría que cada incremento en "1" en cualquier base distinta de cero representa una cantidad infinita de columnas que deben crearse para soportar el desbordamiento. Así, cada número en base 0 sería esencialmente infinito, o incluso peor, cada número sería el mismo número.
@Aszune'sHeart Yo diría que la base $1$ existe, pero todas las cosas que se pueden escribir en él ( $0$ , $00$ , $000$ , etc. ) tienen el valor cero por lo que no es muy útil. (Y si los ceros a la izquierda no están permitidos, lo único que se puede escribir en base $1$ es " $0$ ".)
@TrevorWilson pensando de otra manera, cuando intentas representar un número en base 1, para el 0 obtendrás 0, y en otros casos tienes que cargar infinitas veces para obtener infinitos 0s y aun así no poder representar el número.
Estoy de acuerdo con esta respuesta, excepto que si la base $1$ se define como todas las demás bases, entonces el símbolo único es " $0$ "y las cosas que se pueden escribir con él ( $0$ , $00$ , $000$ , etc. ) tienen todos el mismo valor (es decir, cero.) Por lo tanto, aunque algunas personas llaman "base" al uso de marcas de recuento $1$ " Creo que esto no es del todo correcto.
@TrevorWilson Creo que el problema proviene de tratar la "base 1" como un sistema numérico posicional. El número dos utilizando las marcas de conteo se puede representar como $\color{blue}{/}\color{green}{/}$ o $\color{green}{/}\color{blue}{/}$ así que claramente la posición de nuestro símbolo de conteo no importa. Sin embargo, estamos enumerando algo, por lo que, en mi opinión, la "base 1" es un sistema numérico válido, pero no posicional. Así que cuando usamos el símbolo $0$ como nuestro recuento, no podemos realmente compararlo con otras bases $\ge 2$ .
Claro que el uso de las marcas de conteo es un sistema numérico válido. Pero si queremos llamarlo "base $1$ "entonces tenemos que relajar la definición de "base $b$ " en el caso $b = 1$ . Podríamos decir que los dígitos $0,\ldots,b$ se permiten, en lugar de sólo dígitos $0,\ldots,b-1$ . En esta versión relajada de la base $1$ , dígitos $0$ y $1$ están permitidos, pero no tiene sentido utilizar " $0$ " excepto por sí mismo, por lo que contaríamos $0$ , $1$ , $11$ , $111$ , etc. Sólo estoy señalando que esto es diferente de la definición habitual de "base $b$ ". Por ejemplo, " $222$ " podría significar catorce en base $2$ pero se suele desestimar.
Si ves $123$ como $1\times 10^2+2\times 10^1+3 \times 10^0$ podría considerar la posibilidad de escribir $123 = 123 \times 0^0$ utilizando la convención $0^0=1$ .
@Henry Entonces el 123 tendrá que ser un símbolo separado, al igual que TODOS los números, y la base cero requiere una infinidad de símbolos, y eso no tiene ningún sentido.
Cuando se expresa un número en base $b$ se encuentra como una suma de varias potencias de $b$ . Por ejemplo, para expresar $65$ en base 3 primero notamos $65= 27+27 + 9 +1 +1$ así que $65=2\cdot 3^3 + 1\cdot 3^2 + 2\cdot 3^0$ Por lo tanto $65=(212)_3$ . Desgraciadamente todas las potencias de cero son cero, por lo que las sumas de potencias cero no pueden ser otra cosa que $0$ por lo que el cero es impotente para ser la base del sistema numérico.
La base 0 implicaría que cada marcador de posición en esta base teórica podría tomar uno de los valores cero. Fíjate que es una contradicción.
Prueba: supongamos que es posible tomar un valor de 0 valores posibles, entonces hay un valor posible, y por lo tanto había un valor para empezar.
Usando la sugerencia de Henry. $0^0$ podría interpretarse como 1, en cuyo caso sería posible contar. Sin embargo, esto no es realmente usar la notación para contar, es simplemente usar la convención ad hoc.
Para que este sistema funcione, habría que inventar nuevas matemáticas, pero como no hay ningún ejemplo motivador, dudo que merezca la pena el esfuerzo.
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¿A qué cree que se refiere el término "base cero"? Muchas preguntas son triviales siempre que se conozca el significado de las palabras que se utilizan.
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@anon Estoy escribiendo $10^{log_0(a)}$ s abajo porque es la forma en que me di cuenta de cómo convertir las bases. Y por "base cero" me refiero a un número con un radix o base de cero.
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¿Sabe lo que quiere decir con eso? Una forma I podría dar el significado de las palabras es "un número entero se escribe en base $b$ si se expresa como un polinomio en $b$ cuyos coeficientes son enteros $0\le a<b$ ." En ese sentido, es muy obvio que los números enteros no se pueden escribir en base cero. ¿Quizás las palabras significan algo diferente para ti? Te pregunté qué querías decir con "base cero", y me respondes con "base de cero" - ¿te das cuenta de que esto parece no tener ninguna definición? Es muy importante que sepamos de qué estamos hablando, lo que implica saber qué significan las palabras.
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Esto es un sinsentido 100% certificado por el USDA.
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En cuanto a anotar términos como $10^{\log a}$ s, supongamos que queremos escribir once en base dos: ¿de qué serviría la expresión $10^{\log_2 10}+10^{\log_21}$ ¿nos hace? ¿Cómo nos acerca eso a la respuesta correcta, que es $1011_2$ ?
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@anon Mi método es estúpidamente sobrecomplicado, pero sigue usando logaritmos. También lo escribí completamente mal.
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Otras personas ya han explicado por qué "escribir un número en base cero" no tiene ningún sentido; permítanme mencionar que "logaritmo en base 0" tampoco tiene ningún sentido. Esto se debe a que la base- $b$ logaritmo de un número $x$ se define como el número único $y$ tal que $b^y = x$ , pero no hay un número $y$ tal que $0^y = x$ (a menos que $x$ resulta ser cero, en cuyo caso $y$ no es única). La ecuación $\log_b(x) = \log(x)/\log(b)$ se suele considerar como un teorema sobre $\log_b$ , no una definición de $\log_b$ . (En cualquier caso, sólo se aplica cuando $b$ y $x$ son números positivos).
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@TrevorWilson Entiendo que los logaritmos de base 0 no funcionan. Por eso me preguntaba si había otra forma de convertir bases sin usar logaritmos. Pero parece que la base cero no existiría de ninguna manera.