¿Es posible encontrar el límite sin la regla o serie de l'Hopital?

Question

¿Es posible encontrar$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(1-\cos(x))}{x^2e^x}$ $ sin usar la Regla o Serie de L'Hopital o algo de conocimiento complejo pero solo básico (definición de un límite, leyes de límites y expansión / cancelación algebraica?)

Answer 1

Multiplica y divide el numerador y el denominador por$1-\cos(x)$.

Luego solo limites trigonométricos básicos para evaluar la respuesta.

Answer 2

\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(1 - \cos x)}{\mathrm{e}^x \cdot x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin(1 - \cos x)}{1 - \cos x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \mathrm{e}^{- x} \\ &= \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \mathrm{e}^{- x} \\ &= 1\cdot \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} \cdot 1 \\ &= \lim_{u \to 0} \frac{2 \sin^2 u}{4 u^2} \end{align}

Answer 3

Podemos proceder de la siguiente manera: $$ \begin{aligned}L &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin(1 - \cos x)}{x^{2}e^{x}}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin(1 - \cos x)}{1 - \cos x}\cdot\frac{1 - \cos x}{x^{2}e^{x}}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin(1 - \cos x)}{1 - \cos x}\cdot\frac{1 - \cos x}{x^{2}}\cdot \frac{1}{e^{x}}\\ &= \lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{e^{x}}\text{ by putting }t = 1 - \cos x \to 0 \text{ as } x \to 0\\ &= 1\cdot\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}}\cdot 1\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{2\sin^{2}(x/2)}{(x/2)^{2}}\cdot\frac{(x/2)^{2}}{x^{2}}\\ &= 2\cdot 1\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\end {alineado} $$