¿Qué función crece más rápido?

Question

¿Qué función crece más rápido

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Answer 1

Antes de la edición: Tu idea era correcta, pero no has simplificado bien el límite. $$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n^2+3n}}{2^n+1}$$ Basta con dividir el numerador y el denominador por $2^n$ . $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n^2+3n}}{2^n}}{\frac{2^n+1}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n^2+3n-n}}{2^{n-n}+\frac{1}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n^2+2n}}{1+\frac{1}{2^n}}$$ Como $n \to \infty$ se hace evidente que el límite tiende a $\infty$ ya que el numerador tiende a $\infty$ mientras que el denominador tiende a $1$ .

Después de la edición: Sí, su manera es correcta.

Answer 2

HINT

Tu conclusión es correcta pero ese paso es erróneo

$$\lim_{n \to \infty}= \dfrac{2^{n^2+3n}}{2^n+1}\color{red}{=\lim_{n \to \infty} 2^{n^2+3n-n-1}}$$

podrías usar eso $2^n+1\le 2^{n+1}$ y por lo tanto

$$\dfrac{2^{n^2+3n}}{2^n+1}\ge \dfrac{2^{n^2+3n}}{2^{n+1}}$$

Actualización después de la edición

Para $g(n)=2^{n+1}$ su método es absolutamente correcto.

¿Qué pasa con $f(n)=2^{n^2+3n}$ y $g(n)=3^{n+1}$ ?

Answer 3

Es $$\frac{2^{n^2}\cdot 2^{3n}}{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\right)}=\frac{2^{n^2+2n}}{1+\frac{1}{2^n}}$$