$u_{n}>u_{n+1}>0$ y$u_{2}+u_{4}+u_{8}+u_{16}.....$ divergen. probar que$\sum \frac{u_{n}}{n}$ diverges.

Question

$u_{n}>u_{n+1}>0$ y$u_{2}+u_{4}+u_{8}+u_{16}.....$ divergen. probar que$\sum \frac{u_{n}}{n}$ diverges. Lo único que encontré es que$\left | \frac{u_{2^{n+1}}}{2u_{2^n}} \right |>1$.

Answer 1

Aquí hay una pista: $$ \ underbrace {\ frac {u_1} {1} + \ frac {u_2} {2}} _ {> \, 2 \ cdot u_2 / 2} + \ underbrace {\ frac {u_3} {3 } + \ frac {u_4} {4}} _ {> \, 2 \ cdot u_4 / 4} + \ underbrace {\ frac {u_5} {5} + \ frac {u_6} {6} + \ frac {u_7} {7} + \ frac {u_8} {8}} _ {> \, 4 \ cdot u_8 / 8} + \ cdots. $$ ¿Ves lo que estoy haciendo? Es posible que encuentre útil la información sobre la prueba de condensación de Cauchy .

Answer 2

Existe un teorema general si$a_n$ está disminuyendo tanto la convergencia de$\sum a_n$ como la de$\sum 2^n a_{2^n}$ o ambas divergen.