Técnicamente, la geometría biracional es una geometría local de variedades algebraicas, pero se siente completamente diferente de la geometría diferencial local, que es más o menos trivial. ¿Hay alguna similitud sutil entre ellos?
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YequalsX
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A pensar de birational la geometría como "local de la geometría" de variedades es bastante engañosa. Como Hurkyl dice en un comentario, es sobre los genéricos comportamiento de las variedades.
Pero, en realidad, se trata de algo un poco más preciso que eso. Que incluye la teoría de la resolución de singularidades (cualquier variedad es birational a un suave), y la teoría de los mínimos modelos (cuyo objetivo es encontrar canónica de los miembros de cada birational equivalence class), y estas dos teorías son, en gran medida, lo birational geometría. (Otro tema importante es encontrar formas normales para birational mapas.)
Un buen ejemplo de enfoque es el de la las superficies (en el caso de las curvas es un poco engañosa, ya que para suavizar las curvas, siendo birational es equivalente a ser isomorfo):
Con un par de excepciones, cada birational clase de equivalencia que contiene un modelo mínimo, único hasta el isomorfismo, de tal manera que cualquier miembro de la clase admite un birational de morfismos para el modelo mínimo (para una birational mapa que en realidad es definido en todas partes). Además, el modelo mínimo tiene un concreto de caracterización (no contiene $-1$ curvas). Finalmente, cualquier birational mapa entre dos miembros de la birational equivalencia de la clase puede ser factorizado como la composición de blowings y blowings abajo.
La relación más cercana a la geometría diferencial sé que es un programa (debido a la Canción y Tian, y probablemente otros también) para recuperar el modelo de un mínimo de clasificación en términos de la existencia de diversos tipos de métricas sobre las variedades. (Uno se aplica diversas corrientes como Khaler--flujo de Ricci, ¿no apropiado cirugías para pasar a través de las singularidades del flujo; y finalmente termina con el modelo mínimo. Así que el blowings abajo que son necesarios para obtener el modelo de un mínimo de son alcanzados por las cirugías.) Creo que este programa es más globales que locales en la naturaleza (por ejemplo, las obstrucciones a la existencia de ciertos tipos de métricas sobre las variedades son globales), aunque esto está lejos de mi área de especialización, así que no puedo decir nada definitivo. Aquí es relevante el papel; el retroceso a través de su lista de referencias que se va a llevar a los demás.
