Dependencia lineal de potencial magnético en la densidad de corriente de

Question

Soy un matemático aprendizaje de la física a proporcionar algunos antecedentes para mi trabajo en matemáticas (especialmente del pde!). He estado leyendo a través de Jackson de la Electrodinámica Clásica (3ª edición), y yo estaba perplejo por una suposición de que él hace. En la página 214, que se deriva de la ecuación de $W=\frac12 \int_{V_1} \mathbf{J} \cdot \mathbf{A}$ bajo el supuesto de que el potencial magnético $\mathbf{A}$ y la densidad de carga $\mathbf{J}$ están relacionados linealmente. Sin embargo, esta parece ser una muy estricta condición, ya que están relacionados en cada coordenada por la ecuación de Poisson. Parece que los autovalores de la ecuación de Poisson podría satisfacer la condición de linealidad (después de diagonalizing la relación lineal). Y, sin embargo, en la página siguiente, se utiliza la fórmula anterior para el trabajo en general de configuración de un sistema de $N$ arbitrarias circuitos.

Entonces, mi pregunta es, ¿cómo de común es una relación lineal entre el vector potencial magnético y la densidad de corriente? Y hacer Jackson se mantienen los resultados en la configuración de usa?

Answer 1

Lo esencial de la física de este codifica es el principio de superposición, que está en el corazón de la teoría electromagnética clásica. Lo que esto indica es que los campos de una colección de fuentes es la suma vectorial de los campos creados por cada fuente diferente. En particular, esto significa que el doble de las corrientes que genera dos veces el vector potencial y dos veces el campo magnético, y así sucesivamente, que se reduce a una relación lineal entre el potencial y los campos y las fuentes que generan ellos.

Hay un montón de relativamente evidencia experimental directa de la superposición principio, pero creo que el consenso es que es un elemento básico de la teoría de que es un postulado esencial de su propia, y que su validez debe ser demostrado en el éxito general de la teoría. Electromagnetismo simplemente no existiría en su forma actual sin ella. Jackson explica esto en detalle en páginas 9-13 junto con las circunstancias del caso (bastante extrema en términos macroscópicos) en el que se podía romper.

Respecto a sus comentarios sobre la ecuación de Poisson, mi primera reacción es que usted debe tener cuidado, ya que la ecuación sólo es válida en el gauge de Coulomb y el calibre de la libertad debe ser manejado con cuidado. Creo, sin embargo, que sus dudas son mejor abordados en la electrostática analógica con la eléctrica, la densidad de carga y el potencial electrostático. Estos obedecer a la simple escalar de la ecuación de Poisson $$\nabla^2\varphi=\rho/\epsilon_0.$$ Esta es una ecuación lineal (sin indicador de la incertidumbre en ella), y como todas las ecuaciones lineales que sus soluciones pueden ser expresadas como $$ \varphi=\frac{1}{\nabla^2}\rho/\epsilon_0+\varphi_0\textrm {donde }\nabla^2\varphi_0=0. $$ Aquí $\frac{1}{\nabla^2}$ es no local integral operador, que en realidad es irrelevante. $\varphi_0$ es una solución de la ecuación homogénea y físicamente representa el potencial de la aplicación externa de los campos; por esa razón física que se impone siempre, a ser constante (si no es cero) para los sistemas aislados. Lo que esto inversa de la ecuación, entonces los estados es la superposición principio de la suma de las fuentes da la suma de los potenciales - en la forma del resultado matemático que el inverso de un operador lineal (con la necesaria singularidad salvedades) siempre es un operador lineal.