Si $S_1$, $S_2$, $\dots$ son conjuntos de números reales y si $\bigcup_{j=1}^{\infty}{S_j} = \mathbb{R}$, a continuación, uno de los conjuntos de $S_j$ debe tener un número infinito de elementos.
Yo creo que al menos una de las $S_j$ debe ser un conjunto infinito, pero no puedo trabajar fuera una prueba. ¿Cuál es el truco que me falta?
Supongamos que todos los conjuntos finitos, la unión de countably muchos finito de conjuntos numerables, pero los números reales no lo son.
[Este argumento se usa el axioma de elección, sin embargo es cierto que sin el axioma de elección que un contable de la unión finita de conjuntos de números reales es contable]
De hecho, algo más fuerte, es cierto: al menos uno de $S_i$ tiene que ser incontables.
Es un estándar de hecho de que una contables de la unión de conjuntos contables es contable. Usted podría, por ejemplo, enumerar los elementos de $S_i$ por lo que: $$ S_i = \{ S_i^{j} \}_{j \in \mathbb{N} } $$ y, a continuación, organizar $\{ S_i^{j}: i,j \in \mathbb{N} \} = \bigcup_{i} S_i$ ordenar primero de acuerdo a $i+j$ y, a continuación,$i$. Desde $\mathbb{R}$ no es contable, no puede ser que todos los $S_i$ son contables, y listo.
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