¿Una izquierda invariante en el campo de vectores en un complejo Mentira grupo preservar holomorphic funciones?

Question

Deje $G$ a (finito-dimensional) complejo Mentira grupo, y supongamos $f : G \to \mathbb{C}$ es holomorphic. Deje $X$ ser una izquierda invariante en el campo de vectores en $G$. Debe $Xf$ ser holomorphic?

Creo que tengo una prueba, pero siento que me haya perdido algo de sutileza, o demasiado complicado asuntos. Todavía estoy aprendiendo esta área y no creo que mi intuición es completamente calibrado todavía. Yo también estaría feliz de ver pruebas alternas.

Deje $\mathfrak{g}$ ser la Mentira de álgebra de $G$, considerado como el espacio de la tangente de $G$ a la identidad de $e$. A continuación, $\mathfrak{g}$ tiene una estructura compleja; llamarlo $J$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer $X$ es un verdadero campo de vectores, así que vamos a $\xi = X(e) \in \mathfrak{g}$.

Por la izquierda invariancia es suficiente para mostrar $Xf$ es holomorphic en $e$. Fijar un holomorphic sistema de coordenadas $(z^1, \dots, z^n)$ en un barrio de $e$. Puedo reclamar $\displaystyle \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} f = 0$$e$. Deje $\bar{Z}$ ser una izquierda invariante en el complejo campo de vectores con $\bar{Z} = \displaystyle \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} $$e$. A continuación, $\bar{Z}$ es de tipo (0,1), de modo que podemos escribir $\bar{Z}(e) = \eta + i J \eta$ algunos $\eta \in \mathfrak{g}$.

Ahora tenemos $(\bar{Z}Xf)(e) = (X \bar{Z} f)(e) + ([\bar{Z}, X]f)(e)$. Desde $f$ es holomorphic y $\bar{Z}$ es de tipo (0,1), $\bar{Z} f = 0$, por lo que el primer término se desvanece. El segundo término es igual a $[\eta + iJ\eta, \xi]f = ([\eta, \xi] + i J [\eta, \xi]) f$ que también se desvanece desde $[\eta, \xi] + i J [\eta, \xi]$ es también de tipo (0,1).

Answer 1

Una manera más fácil de ver es como sigue.

Como antes, supongamos, sin pérdida de generalidad que $X$ es real, vamos a $\xi = X(e) \in \mathfrak{g}$ y deje $\exp : \mathfrak{g} \to G$ ser el mapa exponencial. Deje $f_t(g) = f(g \exp(t \xi))$ y recordemos que $Xf(g) = \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} f_t(g)$. Desde el grupo de operación de holomorphic, $f_t$ es una familia de un parámetro de holomorphic funciones, por lo que su derivada en $t=0$ es también holomorphic. (Por ejemplo, podemos intercambio de derivados con respecto a $t$ $\bar{z}_j$ a ver que $Xf$ satisface la de Cauchy-Riemann ecuaciones.)