Cambios de concavidad

Question

He dejado de estar confundido por la teoría de Galois y he vuelto a confundirme con el cálculo elemental.

Tengo un polinomio de grado $m-1$ que está acotado por la curva $y = x^m$ y la intersecta en un número distinto de cero de puntos. ¿Cada uno de estos puntos de intersección representa un cambio en la concavidad (o dos, dado que tiene que bajar y subir de nuevo)? Además, ¿estoy en lo correcto al decir que puede haber como máximo $m-3$ cambios en la concavidad? Gracias, se me olvidó un poco este tema.

Answer 1

Digamos que tienes un polinomio $y = p_{m-1}(x)$ y existen algunas soluciones reales de $p_{m-1}(x) = x^m$.

Una función $f(x)$ es cóncava en el punto $x$ si $f''(x)<0$ y convexa si $f''(x)>0$. El cambio en la concavidad ocurre cuando $f''(x)=0.

Si te estás preguntando si eso implica que $p''_{m-1}(x)$ es cero en esos puntos, entonces creo que no. Considera el ejemplo de $m=4$ y $p_3(x) = x^3-x+1$. La ecuación $p_3(x) = x^4$ admite dos soluciones reales $x=\pm1$. La segunda derivada del polinomio es $6x$ y no es cero en esos puntos.

Answer 2

Sobre la parte "también" de la pregunta:

Está claro que si $m < 3$ no hay cambios en la concavidad.

Supongamos que $m \ge 3$. Tu polinomio tiene grado $m-1$. Por lo tanto, su segunda derivada tiene grado $m-3.

En todas partes donde hay un cambio en la concavidad, la segunda derivada es $0$. Pero un polinomio de grado $k$ tiene como máximo $k$ ceros. Entonces, la función puede cambiar de concavidad como máximo $m-3$ veces.

Comentario adicional: El polinomio $0$ no tiene grado $0$, o al menos no muchos matemáticos dicen que lo tiene. Una convención es que no tiene un grado. Otra convención es que tiene grado $-\infty$. También he visto que se ofrece $-1$ como el grado del polinomio $0.