Los valores de $N$ que $N(N-101)$ es un cuadrado perfecto

Question

Para cuántos valores de $N$ (entero), $N(N-101)$ es un número cuadrado perfecto?

Comencé en este camino.

Deje $N(N-101)=a^2$ o $N^2-101N-a^2=0.$

Ahora bien, si el discriminante de esta ecuación es un cuadrado perfecto, entonces podemos solucionar $N$. Pero no puedo avanzar más.

Answer 1

Queremos $N(N-101)$ a ser un cuadrado perfecto. Tenga en cuenta que el mcd de a $N$ $N-101$ $1$ o $101$.

Supongo que es $101$. Deje $N=101M$. Tenemos que $101M(101M-101)$ es un cuadrado perfecto. Este es el caso de la fib $M(M-1)$ es un cuadrado perfecto. Que sucede iff $4M^2-4M$ es un cuadrado perfecto.

Pero $4M^2-4M$ es un cuadrado perfecto iff $(2M-1)^2-1$ es un cuadrado perfecto, decir $a^2$, o, equivalentemente, iff $(2M-1)^2=a^2+1$. La única posibilidad es $2M-1=\pm 1$, dando $M=0$ o $M=1$, y por lo tanto $N=0$ o $N=101$.

Lo siguiente que lidiar con $N$ $N-101$ relativamente primos. Entonces cada una de las $N$ $N-101$ es un cuadrado perfecto, decir $N=a^2$$N-101=b^2$. Llegamos a la ecuación de $a^2-b^2=101$. Hay $4$ posibilidades: $a-b=1$, $a+b=101$; $a-b=101$, $a+b=1$; $a-b=-1$, $a+b=-101$; $a-b=-101$, $a+b=-1$.

Para cada uno de estos, resolver por $a$$b$. Pero tenga en cuenta que $a-b=-1$, $a+b=-101$ los rendimientos de los efectos negativos de las soluciones de $a-b=1$, $a+b=101$. Así que dar el mismo valor de $N$, como el resto de los par.

Comentario: Su discriminante idea funcionará muy bien, básicamente de la misma manera. (Incluso se podría argumentar que el trabajo más agradable). Establecimiento $N(N-101)=a^2$, como lo hizo, nos encontramos con que el discriminante es $101^2+4a^2$. Queremos que este sea un cuadrado perfecto, decir $b^2$. Que da $101^2=b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a)$. Por eso queremos poner a $b-2a$ como un factor de $101^2$, e $b+2a$ como factor complementario. Terminamos la resolución de un par de pares de ecuaciones lineales en dos incógnitas, así como en la prueba dada anteriormente.

Answer 2

así que para discriminante de obtener

$10201+4*a^2$

primero de todo, desde el principio está claro que esto tiene al menos dos valor de $N$,es decir,$N=0$$N=101$, ahora sobre discriminante, lo que podría ser el valor de $a$,de modo que la suma de esto es cuadrado perfecto?

Answer 3

El discriminante es $4a^2+101^2$ y queremos que esto sea un cuadrado $b^2$, por lo que queremos resolver $(b-2a)(b+2a)=b^2-4a^2=101^2$. Así que desde 101 es primo tenemos que resolver $b-2a=b+2a=101$; $b-2a=1, b+2a=101^2$; $b-2a=-101, $b+2a=-101$; $b-2a=-1, b+2a=-101^2$.

Así las soluciones para $N$ ahora son fáciles de encontrar.