La deducción PA los axiomas de ZFC

Question

Recientemente me he tropezado con esta afirmación:

Axiomas de Peano se puede deducir en ZFC

He encontrado un montón de información relacionada con esta afirmación (por ejemplo, ¿qué sería de (una versión de los números naturales aspecto en el universo de los conjuntos de: $0 = \emptyset$, $n + 1 = n \cup \{n\}$), pero no lo que las deducciones (ZFC $\vdash$ PA) parecen realmente. ¿Qué aspecto tienen?

Answer 1

¿Te refieres a la original Axiomas de Peano (con y sin restricciones de segundo orden axioma de inducción), o la Aritmética de Peano (conocida como la PA, con una de primer orden axioma esquema)? Aunque no es muy diferente para el propósito de esta pregunta.

Antes de comenzar a derivar el PA axiomas, por supuesto, te encuentras con el problema de que están escritos en el lenguaje de la aritmética de enteros, mientras que ZFC sólo demuestra que las cosas en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por lo que usted necesita para decidir sobre alguna manera de traducir la lógica de fórmulas en el lenguaje de la aritmética para establecer teórico-fórmulas.

Lo habitual es suficiente para representar a $0$$\varnothing$$S(t)$$t\cup\{t\}$, y también para asegurarse de que todos los cuantificadores y variables libres en la fórmula aritmética se limita a la gama de más de $\omega$. Representa la adición y la multiplicación deja un poco de espacio para la elección, sin embargo.

Si estás trabajando en un no demasiado escueta desarrollo de ZFC, es natural que representan PA la adición y la multiplicación por ordinal adición y ordinal de la multiplicación, que ya te han investigado como puramente ZFC fenómenos. Se derivan de cada uno de los PA axiomas , excepto para las instancias del esquema de inducción es entonces un sencillo aburrido materia de definición de perseguirla.

Cada instancia de la inducción axioma esquema se plantea ahora como un caso especial de una inducción general teorema de ZFC:

$$ \forall A\subseteq \omega: (\varnothing \in A \land \forall x\in A: x\cup\{x\}\in A)\to A = \omega $$

Con el fin de derivar una instancia de PA inducción a partir de esto, simplemente deje $A$ $\{x\in\omega \mid \phi(x) \}$ donde $\phi$ es el conjunto de la teoría de la representación de la aritmética fórmula estás inducción.

La inducción teorema se sigue del Axioma de Infinitud. Los detalles son un poco sensibles a la frase exacta de el Axioma de Infinitud que está trabajando, pero normalmente el Axioma de Infinitud del estado que existe al menos un conjunto $X$ tal que $$\varnothing\in X ~\land~ \forall y\in X:y\cup\{y\}\in X$$ y $\omega$ se define como la intersección de todos los $X$ que cumplan esta condición. Observe que la condición es la misma que la hipótesis acerca de la $A$ en la inducción teorema. Así que si tenemos un $A\subseteq \omega$ que satisface la hipótesis, entonces , por definición, $\omega$ es la intersección de una clase de conjuntos que incluye $A$. En particular, se debe entonces tener $\omega\subseteq A$, y desde $A\subseteq \omega$ fue asumido, llegamos a la conclusión de $A=\omega$ como se desee.

Exactamente cómo los anteriores inglés prueba de convertirse en una prueba formal en ZFC depende mucho de la precisión formalizaciones de ZFC y la lógica de primer orden el que está trabajando, pero en formas que no son muy específicos a la aplicación a la PA.

Answer 2

La más directa, el modelo de la teoría de método para probar la existencia de un modelo de PA dentro de ZFC es como sigue:

1. En primer lugar, se formaliza la sintaxis de PA dentro de ZFC. El método es similar al utilizado para formalizar la sintaxis para el segundo teorema de la incompletitud. El principal resultado es una fórmula $S(n,m)$ que dice que $n,m\in \omega$, e $n$ códigos de una fórmula $\phi_n(x_1)$ en el idioma de PA con una variable libre y $$(\omega, +,\times,0,1, =) \vDash \phi_n(\ulcorner m\urcorner).$$ Developing this formula $S$ toma algún tiempo, pero los métodos son completamente estándar

2. Luego, usando el axioma de separación, uno de los usos ZFC para formar el conjunto $$I = \{(n,m) \in \omega^2 : \text{$m$ is minimal such that } S(n,m) \}$$

3. Ahora hay que comprobar en una sola ZFC prueba de que $(\omega, +,\times,0,1,=) \vDash PA$. Esto va de la siguiente manera. Mediante la formalización de la parte 1, ZFC resulta, para algunos $k$, que no están codificados axiomas $n_1, \ldots, n_k$ de los PA tal que para cualquier codificado axioma $n$ de PA, $n=n_i$ algunos $i < k$ o $n$ es un código de inducción axioma. En el primer caso, podemos hacer una prueba por casos para comprobar que $(\omega, +,\times,0,1,=)$ satisface el axioma codificado por $n_i$. En el último caso, donde $n$ es un axioma de inducción, usamos el único conjunto $I$ de la parte 2, como un parámetro para verificar que el axioma codificado por $n$ mantiene en $(\omega, +,\times,0,1,=)$. A saber: si el axioma de inducción fallado por algunos codificado fórmula $\phi(x)$, entonces si dejamos $\phi_r(x)$ ser la negación de la $\phi(x)$ el conjunto $\{ m \in \omega : (r,m) \in I\}$ no tendría menos un elemento.