Dado el polinomio $f = X^4 - 6X^3 + 13X^2 + aX + b$, usted tiene que encontrar los valores de $a$ $b$ tal que $f$ tiene dos raíces.
Fui acerca de esto por escrito el polinomio como: $$f = X^4 - 6X^3 + 13X^2 + aX + b = (X - r)^2(X - s)^2$$
... y a partir de ahí me llegó en un sistema de cuatro ecuaciones de dónde podía encontrar a los valores deseados. Sin embargo, hay un poco de trabajo hacerlo de esta manera; hay un acceso directo?
Ambos lados son idénticos expresiones polinómicas. Las raíces de la derecha, r,r,s,s. La suma de las raíces es de 6; esto se ve mirando a la izquierda. Por lo tanto, $2r+2s = 6$ $r + s = 3$ . El coeficiente de los cuadrados de término es la suma de las raíces multiplicado de dos en dos. Desde la izquierda vemos es 13. Desde el punto de vista de la $r$$s$, es
$$r^2 + s^2 + 4rs.$$
Ahora sustituye en $s = 3 - r$ y resolver. Consigue $r = 1$ o $r = -2$. Ahora echa un vistazo a ambas posibilidades.
Se podría aplicar Vieta del teorema; también llegar a un 4x4 sistema no lineal de ecuaciones, con lo que no estoy seguro de si este método es mucho más fácil que la tuya. El sistema de ecuaciones tendría este aspecto
$$\begin{vmatrix}2 x_1 + 2 x_2 = 6\\ x_1^2 + 4 x_1 x_2 + x_2^2 = 13\\ 2 x_1^2 x_2 + 2 x_1 x_2^2 = -a\\ x_1^2 x_2^2 = b \end{vmatrix}$$
y le daremos la solución de $a = -12$$b=4$.
Para detalles sobre el cálculo basado en el método (que, en comparación con las otras soluciones de aquí, yo no recomiendo), si dejamos $f=X^4−6X^3+13X^2+aX+b$, luego tenemos el doble de raíces en $r$ $s$ si $GCD(f,f')=k(x-r)(x-s)$ para algunos no-cero constante $k$. Pasando por el algoritmo de Euclides para encontrar $GCD(f,f')$, el primer resto que tenemos es (hasta un factor) $2X^2-6X(13+a)-(3a+8b)$, que no puede ser $0$ para cualquier elección de $a$$b$. Ya que necesitamos que el máximo común divisor ser cuadrática, la próxima resto tiene que ser cero. Procedimiento, la próxima resto es $(104a+9a^2 +276b + 24ab)+2x(1352+222a+9a^2+4b)$. Por lo tanto, debemos tener que ambos coeficientes son cero.
Desde $b$ aparece de forma lineal en ambos coeficientes, podemos resolver para $b$ y el conjunto de ambas expresiones son iguales entre sí para producir que $-b=\frac{1}{4}(9a^2+222a+1352)=\frac{9a^2+104a}{12(23+2a)}$. Esto le da una ecuación cúbica para $a$, y una vez resuelto, los rendimientos de la $b$.
Esto, en principio, puede ser resuelto mediante la fórmula de Cardano, o de otra manera, y tiene la "ventaja" de que no requiere el paso intermedio de escribir las cosas en términos de las raíces. Por otro lado, el trato con cúbicas es un enorme dolor.
Un híbrido de este método y el otro método podría ser que el hecho de que, si las raíces de $f$ $r$ $s$ (cada uno con multiplicidad $2$), $2X^2−6X(13+a)−(3a+8b)$ tiene raíces $r$$s$. Entonces tenemos que $r+r+s+s=6$$r+s=3(13+a)$, lo $a=-12$.
Entonces, la ecuación de $1352+222a+9a^2+4b=0$, que se simplifica a $-16+4b=0$ o $b=4$.
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