Encontrar los valores de $a >0$ donde $y=x$ intersecta $y=a^x$

Question

Así que la pregunta va de la siguiente manera:

Para qué valores de a $a>0$ hace la curva de $y=a^x$ cruzan la línea recta $y=x$?

No estoy realmente seguro de cómo acercarse a esta forma diferente de encontrar los valores de x que satisface $x=a^x$, a partir de entonces iba yo a encontrar. No era tan sencillo como me imagino.

Alguna sugerencia?

Answer 1

El caso de $a \leq 1$ es fácil, así que supongamos $a > 1$. Ahora veamos la función de $f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ $$f(x) = \frac{a^x}{x}.$$ Nuestro objetivo es encontrar todos los mínimos de $f$. Tenemos $$f'(x) = \frac{a^x(x \ln(a) - 1)}{x^2},$$ por lo $f$ tiene un mínimo local en a $x = \frac{1}{\ln(a)}$. Uno puede comprobar que esto es de hecho un mínimo global.

Ahora tenga en cuenta que $a^x$ $x$ intersectan para algunos $x > 0$ si y sólo si $f(x) \leq 1$ algunos $x > 0$ si y sólo si $f\left(\frac{1}{\ln(a)}\right) \leq 1$. Pero tenemos $$f\left(\frac{1}{\ln(a)}\right) = \ln(a) \cdot a^{\frac{1}{\ln(a)}} = \ln(a) \cdot e,$$ así que queremos que $\ln(a) \leq \frac{1}{e}$, es decir,$a \leq e^{\frac{1}{e}}$.

Answer 2

considere la función $$f(x)=x-a^x$$ then $$f'(x)=1-a^x\ln(a)$$ conyou terminar ahora? resolver la ecuación $$1=a^x \ln(a)$$ for $x$, and note that $$f''(x)=-a^x(\ln(a))^2<0$$ for all real $x$ y tenga en cuenta que para $$0<a<1$$ is $$f'(x)>0$$

Answer 3

La línea de $y = x$ se cruza con la curva de $y = a^x$ ($a > 0$) cuando $$x = a^x.$$ Esta ecuación puede resolverse para $x$ en términos de la función W de Lambert como sigue. Reordenando tenemos $$\begin{align*} x &= a^x\\ x &= e^{x \ln a}\\ x e^{-x \ln a} &= 1\\ -x \ln a e^{-x \ln a} &= -\ln a, \end{align*}$$ y desde esta última ecuación es ahora exactamente en el formulario para la definición de la ecuación de la función W de Lambert, a saber $$\text{W} (x) e^{\text{W} (x)} = x,$$ donde $\text{W} (x)$ denota la función W de Lambert, tenemos $$-x \ln a = \text{W}_\nu (-\ln a),$$ o $$x = -\frac{1}{\ln a} \text{W}_\nu (-\ln a).$$ Aquí $\nu$ denota las dos ramas de la función W de Lambert ($\nu = 0, -1$). Cuando $a > 1$, $\ln a$ será positivo. Así que durante dos soluciones reales a las dos ramas de la función W de Lambert son seleccionados con el argumento de la función W de Lambert que se extiende entre los $-1/e$ y cero. Así $$-\frac{1}{e} \leqslant -\ln a < 0,$$ o $$1 < a \leqslant e^{1/e}.$$ Tenga en cuenta que gráficamente tiene dos puntos de intersección entre la curva y la recta (un solo punto al $a = e^{1/e}$).

Al $0 < a < 1$ $\ln a$ será negativo el argumento de la función W de Lambert es el sentido positivo de la rama principal ($\nu = 0$) está seleccionado. Por lo tanto habrá un solo punto de intersección entre la curva y la línea de al $0 < a < 1$.

El caso de $a = 1$ es trivial. De manera que los valores de $a > 0$ para que la curva de $y = a^x$ cruza la línea de $y = x$$0 < a \leqslant e^{1/e}$.

Answer 4

Si las dos curvas se cruzan, lo hacen en $x>0$ donde $x=a^x$, que es el mismo que $x\log a-\log x=0$.

La función de $f(x)=x\log a-\log x$, definido por $x>0$, ha derivado $$f'(x)=\log a-\frac{1}{x}$$ Tenga en cuenta que, al $0<a\le 1$, la derivada es negativo en todas partes. Ya tenemos $$\lim_{x\to0}f(x)=\infty,\qquad f(1)=\log<0 \qquad(0<a\le 1)$$ la ecuación de $f(x)=0$ tiene una solución única, que está en el intervalo de $(0,1)$ (curva azul, $a=1/2$) a excepción de $a=1$ cuando la solución es $x=1$.

Asumiendo $a>1$, la derivada se desvanece en $x=1/\log a$, que es un mínimo absoluto. Desde $$f(1/\log a)=1-\log(1/\log a)=1+\log\log$$ habrá

• no hay solución para $1+\log\log a>0$, $a>e^{1/e}$ (curva negra, $a=2$);
• una solución para $a=e^{1/e}$ (curva naranja);
• dos soluciones para $1<a<e^{1/e}$ (curva de color rojo, $a=1.2$).

Nota: el dibujo de las curvas son sólo algunos ejemplos de lo que sucede en los diversos casos.