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4 votos

Encontrar los valores de a>0 donde y=x intersecta y=ax

Así que la pregunta va de la siguiente manera:

Para qué valores de a a>0 hace la curva de y=ax cruzan la línea recta y=x?

No estoy realmente seguro de cómo acercarse a esta forma diferente de encontrar los valores de x que satisface x=ax, a partir de entonces iba yo a encontrar. No era tan sencillo como me imagino.

Alguna sugerencia?

5voto

P. Koymans Puntos 91

El caso de a1 es fácil, así que supongamos a>1. Ahora veamos la función de f:(0,)R f(x)=axx. Nuestro objetivo es encontrar todos los mínimos de f. Tenemos f(x)=ax(xln(a)1)x2, por lo f tiene un mínimo local en a x=1ln(a). Uno puede comprobar que esto es de hecho un mínimo global.

Ahora tenga en cuenta que ax x intersectan para algunos x>0 si y sólo si f(x)1 algunos x>0 si y sólo si f(1ln(a))1. Pero tenemos f(1ln(a))=ln(a)a1ln(a)=ln(a)e, así que queremos que ln(a)1e, es decir,ae1e.

0voto

considere la función f(x)=xax then f(x)=1axln(a) conyou terminar ahora? resolver la ecuación 1=axln(a) for x, and note that f for all real x y tenga en cuenta que para 0<a<1 is f'(x)>0

0voto

omegadot Puntos 156

La línea de y = x se cruza con la curva de y = a^x (a > 0) cuando x = a^x. Esta ecuación puede resolverse para x en términos de la función W de Lambert como sigue. Reordenando tenemos \begin{align*} x &= a^x\\ x &= e^{x \ln a}\\ x e^{-x \ln a} &= 1\\ -x \ln a e^{-x \ln a} &= -\ln a, \end{align*} y desde esta última ecuación es ahora exactamente en el formulario para la definición de la ecuación de la función W de Lambert, a saber \text{W} (x) e^{\text{W} (x)} = x, donde \text{W} (x) denota la función W de Lambert, tenemos -x \ln a = \text{W}_\nu (-\ln a), o x = -\frac{1}{\ln a} \text{W}_\nu (-\ln a). Aquí \nu denota las dos ramas de la función W de Lambert (\nu = 0, -1). Cuando a > 1, \ln a será positivo. Así que durante dos soluciones reales a las dos ramas de la función W de Lambert son seleccionados con el argumento de la función W de Lambert que se extiende entre los -1/e y cero. Así -\frac{1}{e} \leqslant -\ln a < 0, o 1 < a \leqslant e^{1/e}. Tenga en cuenta que gráficamente tiene dos puntos de intersección entre la curva y la recta (un solo punto al a = e^{1/e}).

Al 0 < a < 1 \ln a será negativo el argumento de la función W de Lambert es el sentido positivo de la rama principal (\nu = 0) está seleccionado. Por lo tanto habrá un solo punto de intersección entre la curva y la línea de al 0 < a < 1.

El caso de a = 1 es trivial. De manera que los valores de a > 0 para que la curva de y = a^x cruza la línea de y = x0 < a \leqslant e^{1/e}.

0voto

egreg Puntos 64348

Si las dos curvas se cruzan, lo hacen en x>0 donde x=a^x, que es el mismo que x\log a-\log x=0.

La función de f(x)=x\log a-\log x, definido por x>0, ha derivado f'(x)=\log a-\frac{1}{x} Tenga en cuenta que, al 0<a\le 1, la derivada es negativo en todas partes. Ya tenemos \lim_{x\to0}f(x)=\infty,\qquad f(1)=\log<0 \qquad(0<a\le 1) la ecuación de f(x)=0 tiene una solución única, que está en el intervalo de (0,1) (curva azul, a=1/2) a excepción de a=1 cuando la solución es x=1.

Asumiendo a>1, la derivada se desvanece en x=1/\log a, que es un mínimo absoluto. Desde f(1/\log a)=1-\log(1/\log a)=1+\log\log habrá

  • no hay solución para 1+\log\log a>0, a>e^{1/e} (curva negra, a=2);
  • una solución para a=e^{1/e} (curva naranja);
  • dos soluciones para 1<a<e^{1/e} (curva de color rojo, a=1.2).

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Nota: el dibujo de las curvas son sólo algunos ejemplos de lo que sucede en los diversos casos.

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