Si las dos curvas se cruzan, lo hacen en x>0 donde x=a^x, que es el mismo que x\log a-\log x=0.
La función de f(x)=x\log a-\log x, definido por x>0, ha derivado
f'(x)=\log a-\frac{1}{x}
Tenga en cuenta que, al 0<a\le 1, la derivada es negativo en todas partes. Ya tenemos
\lim_{x\to0}f(x)=\infty,\qquad f(1)=\log<0 \qquad(0<a\le 1)
la ecuación de f(x)=0 tiene una solución única, que está en el intervalo de (0,1) (curva azul, a=1/2) a excepción de a=1 cuando la solución es x=1.
Asumiendo a>1, la derivada se desvanece en x=1/\log a, que es un mínimo absoluto. Desde
f(1/\log a)=1-\log(1/\log a)=1+\log\log
habrá
- no hay solución para 1+\log\log a>0, a>e^{1/e} (curva negra, a=2);
- una solución para a=e^{1/e} (curva naranja);
- dos soluciones para 1<a<e^{1/e} (curva de color rojo, a=1.2).
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Nota: el dibujo de las curvas son sólo algunos ejemplos de lo que sucede en los diversos casos.