Encontrar adecuado de la función

Question

Con el fin de obtener una estimación me pregunto si hay una función positiva $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+$ tal que $f(x) < |x|$ $|x|$ lo suficientemente grande (decir $|x|\ge C_0>0$) por lo que la siguiente desigualdad se cumple cuando $|x|\ge C_0$: $$ e^{f(x)}\le C_1^{N+1}(f(x))^{N+1}\sqrt{|x|}(1 + |x|)^{-1/2-N} $$ para cada $N\in \mathbb{N}_0$ y algunas constantes $C_1>0$?

He probado muchos candidatos, como $$ f(x) = C(1 + |x|)\log (1 + \frac{1}{|x|}) $$ pero no puede encontrar nada que funciona. (Y no estoy segura de saber si dicha función existe.)

Answer 1

Esta es sólo una idea.

Tomar límites. Para cada función positiva $f(x)$, el crecimiento exponencial de la $e^{f(x)}$ siempre superar el polinomio de crecimiento de $({C_1f(x))}^{N + 1}$.

La pregunta es si o no puede $\frac{ \sqrt{|x|} }{ {(1 + |x|)}^{N + \frac12} }$ compensar el crecimiento de la izquierda.

Usted tiene límite inferior de $f(x) \lt |x|$. Trate de usar.