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Un operador lineal entre el C[0,1] C[0,1] define como Tf=f+f; T es un isomorfismo

Definir un operador lineal T:C[0,1]C[0,1] como sigue: Tf(x)=f(x)+x0f(u)du Es fácil mostrar que T es un delimitada operador lineal. Además, la declaración (1) afirma que los T es de uno a uno y sobre, y (2) pide calcular T1. (Por lo tanto, T es un isomorfismo debido a un corolario de la Asignación Abierta Teorema)

Necesito ayuda para demostrar T es en: dado cualquier gC[0,1], de cómo se descompone en una suma de entre un continuo f y su antiderivada. Tengo el problema de la descomposición de la g(x)=|x|, por no mencionar extraño funciones como la función de Weierstrass. Parece imposible.

Gracias de antemano por la ayuda!

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mona Puntos 38

Usted necesita demostrar que para cada una de las gC([0,1]) el integeral ecuación f(x)+x0f(t)dt=g(x)\etiqueta1 tiene solución única. A continuación, te voy a demostrar que T es bijective. Tenga en cuenta que (exx0f(t)dt)=exx0f(t)dt+exf(x)=exg(x)\etiqueta2 Después de la integración de (2) sobre el intervalo de [0,y] tenemos eyy0f(t)dte000f(t)dt=y0exg(x)dx es decir, y0f(t)dt=eyy0exg(x)dx A continuación, podemos diferenciar esta por y para obtener f(y)=eyy0exg(x)dx+eyg(y) Y hemos terminado

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Steven Lu Puntos 866

Si Tf=s, F=f es una solución de la educación a distancia F+F=s, ecuación del factor de integración ex: (exF)=exF+exF=exs, F=ex(exsdx+C) con C s. t. F(0)=0. Finalmente, f=F.

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