Un operador lineal entre el $C[0,1]$ $C[0,1]$ define como $Tf = f + \int f$; $T$ es un isomorfismo

Question

Definir un operador lineal $T:C[0,1] \to C[0,1]$ como sigue: $$Tf(x) = f(x) + \int_0^x f(u)du$$ Es fácil mostrar que $T$ es un delimitada operador lineal. Además, la declaración (1) afirma que los $T$ es de uno a uno y sobre, y (2) pide calcular $T^{-1}$. (Por lo tanto, $T$ es un isomorfismo debido a un corolario de la Asignación Abierta Teorema)

Necesito ayuda para demostrar $T$ es en: dado cualquier $g \in C[0,1]$, de cómo se descompone en una suma de entre un continuo $f$ y su antiderivada. Tengo el problema de la descomposición de la $g(x)=|x|$, por no mencionar extraño funciones como la función de Weierstrass. Parece imposible.

Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Usted necesita demostrar que para cada una de las $g\in C([0,1])$ el integeral ecuación $$ f(x)+\int_0^x f(t)dt=g(x)\etiqueta {1} $$ tiene solución única. A continuación, te voy a demostrar que $T$ es bijective. Tenga en cuenta que $$ \left(e^x\int_0^x f(t)dt\right)'=e^x\int_0^x f(t)dt+e^x f(x)=e^xg(x)\etiqueta{2} $$ Después de la integración de $(2)$ sobre el intervalo de $[0,y]$ tenemos $$ e^y\int_0^y f(t)dt-e^0\int_0^0 f(t)dt=\int_0^y e^x g(x)dx $$ es decir, $$ \int_0^y f(t)dt=e^{-y}\int_0^y e^x g(x)dx $$ A continuación, podemos diferenciar esta por $y$ para obtener $$ f(y)=-e^{-y}\int_0^y e^x g(x)dx+e^{-y} g(y) $$ Y hemos terminado

Answer 2

Si $Tf=s$, $F=\int f$ es una solución de la educación a distancia $$F'+F=s,$$ ecuación del factor de integración $e^x$: $$(e^xF)'=e^xF'+e^xF=e^xs,$$ $$F=e^{-x}\left(\int e^x s\,dx+C\right)$$ con $C$ s. t. $F(0)=0$. Finalmente, $$f=F'.$$