Esta es otra forma de llevar a cabo la tarea.
El valor máximo de la suma es $$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2=204$$ y el valor objetivo es $44$ menos que esto.
Una conmutación por transposición $a$ y $b$ reduce el total en $$a^2+b^2-ab-ba=\frac 12\left((a-b)^2+(b-a)^2\right)[=(a-b)^2]$$ Tenga en cuenta que aquí queremos la primera forma y no la más sencilla, como aparecerá más adelante.
El $3$ -ciclo $(abc)$ reduce el total en $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac 12\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)$$ y $(abcd)$ por $$\frac 12\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2\right)$$ y ahora el patrón está claro.
Así que primero buscamos descomposiciones de $2\cdot 44=88$ en sumas de hasta ocho cuadrados, el mayor de los cuales es $\leq49$ y luego convertir la suma de cuadrados en una descomposición de ciclos, si es posible.
Así, por ejemplo $88=5\cdot 4^2+2\cdot 2^2$ , dándonos $7$ cuadrados, lo que en teoría permite una descomposición como $2$ -ciclo y un $5$ -ciclo- pero no podemos tener un $5$ -ciclo donde todos los elementos tienen la misma paridad. Las otras alternativas son $3,4$ y $2,2,3$ . El $3$ -el ciclo se limita a tener diferencias $2,2,4$ y es todo impar o todo par - es decir $(1,3,5), (2,4,6), (3,5,7), (4,6,8)$ . La parte restante tiene que proporcionar cuatro diferencias iguales a $4$ y esto sólo es posible con dos transposiciones $(1,5)(3,7)$ si el $3$ -ciclo contiene números pares y $(2,6)(4,8)$ de lo contrario. [corrección] Obsérvese que los inversos de los cuatro tres ciclos también funcionan. Así que esta descomposición nos da ocho permutaciones posibles.
Ahora se trata de ser sistemático, ya que sólo hay unas pocas posibilidades.
Un ejemplo más sencillo $$a+2b+3c+4d=27$$ la mayor suma posible es $1+4+9+16=30$ la diferencia es $3$ por lo que estamos viendo hasta cuatro casillas que suman $2\cdot 3=6$ . La única posibilidad es $1+1+4$ que representa las diferencias de $1,1,2$ .
Ahora tenemos que dividirlo en dos subconjuntos con la misma suma - $1+1=2$ . Esto se debe a que empezamos en un número, tenemos algunas subidas y bajadas y terminamos donde empezamos. Así que las subidas tienen que ser iguales a las bajadas. Tres casillas significan un $3$ -ciclo. El $2$ es $|3-1|$ o $|4-2|$ . Así que tenemos los ciclos $(312), (132), (423), (243)$ . Depende de la forma en que estés acostumbrado a leer los ciclos, pero las soluciones son entonces $(2,3,1,4), (3,1,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3)$
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Tenga en cuenta también que el número de casos del problema original es intermedio para hacerlo a mano. El número de cuadrados de impar es un múltiplo de cuatro. Obtengo (para ilustrar algunas de las complejidades - se requiere cuidado):
$7,6,1,1,1$ con $7+1=6+1+1$ representando un $5$ -ciclo y $7=6+1; 1=1$ representando un $3$ -ciclo y una transposición. La primera de ellas requiere diferencias de $6$ y $7$ así que $8\to 1\to 7$ o $1\to 8\to 2$ o a la inversa, y las diferencias de $1$ no encajan para hacer un ciclo, por lo que se necesita la transposición, por ejemplo $(34)$
$7,5,3,2,1$ con $7+2=5+3+1$ ( $5$ -ciclo, por ejemplo $(18354)$ - otros son posibles)
$7,5,3,1,1,1,1,1$ con $7+3=5+1+1+1+1+1$ : $7+1+1+1=5+3+1+1$ : $7+1+1=5+3+1;1=1$ : $7+1=5+3;1=1;1=1$ (se trata de un ciclo de cuatro y dos transposiciones de números adyacentes, por ejemplo $(1856)(??)(??)$ pero nada va con $7$ o $(1834)(??)(??)$ y nada va con $2$ así que no hay solución)
$7,5,2,2,2,1,1$ con $7+2+1=5+2+2+1$ : $7+2=5+2+2; 1=1$ : $7+1=5+2+1; 2=2$ : $7=5+2;2+1=2+1$ : $7=5+2; 2=2; 1=1$
Tomando $7=5+2; 2+1=2+1$ tenemos una de 3 y otra de 4 ciclos. $7=|8-1|$ es la única posibilidad, por lo que tenemos $(186), (183), (813), (816)$ y tomando el primero de ellos tenemos que darnos cuenta de la $1+2=1+2$ nota que $7$ no puede encajar en este patrón, así que $2$ tiene que ir a alguna parte (+1 o +2) y así obtenemos $(2354)$ o $(2453)$ y lo mismo para los demás.
$7,4,4,2,1,1,1$ da $7+2+1=4+4+1+1$ (de la cual $2=1+1$ o $1=1$ puede ser extraído) y $7+1+1+1=4+4+2$ Por ejemplo, para este último $(1867345)$ o $(1845673)$ (no exhaustivo)
Mi lista completa es (copiando el espaciado) - estoy añadiendo [n] para mostrar el número que he encontrado de cada tipo (las correcciones son bienvenidas):
$$ \begin{array}{ccccccccl} 7 & 6 & 1 & 1 & 1 & & & & \text{[16]} \\ 7 & 5 & 3 & 2 & 1 & & & & \text{[10]} \\ 7 & 5 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \text{[4]} \\[2ex] 7 & 5 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & & \text{[28]} \\[2ex] 7 & 4 & 4 & 2 & 1 & 1 & 1 & & \text{[32]} \\ 7 & 4 & 3 & 3 & 2 & 1 & & & \\ 7 & 4 & 3 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & \\[2ex] 7 & 3 & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 & 1 & \\[2ex] 7 & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 & 2 & & \\ 6 & 6 & 4 & & & & & & \text{(impossible)} \\ 6 & 6 & 3 & 2 & 1 & 1 & 1 & & \\ 6 & 6 & 2 & 2 & 2 & 2 & & & \text{[8]} \\ 6 & 5 & 5 & 1 & 1 & & & & \text{(impossible)} \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 1 & 1 & & & \\ 6 & 5 & 4 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & \\[2ex] 6 & 5 & 3 & 3 & 3 & & & & \text{(clearly impossible mod $3$)} \\ 6 & 5 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & & \\ 6 & 4 & 4 & 4 & 2 & & & & \text{[16]} \\ 6 & 4 & 4 & 4 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\[2ex] 6 & 4 & 4 & 3 & 3 & 1 & 1 & & \\ 6 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & \\[2ex] 6 & 4 & 3 & 3 & 3 & 3 & & & \text{(impossible)} \\ 6 & 4 & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & \\[2ex] 5 & 5 & 5 & 3 & 2 & & & & \text{[20]} \\ 5 & 5 & 5 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\[2ex] 5 & 5 & 4 & 4 & 2 & 1 & 1 & & \\ 5 & 5 & 4 & 3 & 3 & 2 & & & \\[2ex] 5 & 5 & 4 & 3 & 2 & 2 & 2 & 1 & \\[2ex] 5 & 5 & 3 & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 & \\[2ex] 5 & 4 & 4 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & \\[2ex] 5 & 4 & 4 & 3 & 3 & 3 & 2 & & \\ 5 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & \\[2ex] 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 2 & 2 & & \text{[8]} \\[2ex] \end{array} $$
