Encontrar la divergencia de este campo vectorial

Question

Dejemos que $M\in \Bbb{R}^n$ sea un conjunto abierto, y sea $\rho: M \to \Bbb{R}$ sea continua. Entonces definamos $v: M\to \Bbb{R}^n$ como $$v(x) = \int_{r\in M} \frac{\rho(r)(x-r)}{\|x-r\|^n} \, dr$$ Donde la integral anterior se toma por componentes. (Si $n = 3$ podemos imaginar $\rho$ como densidad de carga, y $v$ como el campo eléctrico resultante). Ahora quiero encontrar la divergencia de $v$ Así que primero calculo el $i^\text{th}$ derivada parcial de la $i^\text{th}$ componente. $$\frac{\partial v_i}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \int_{r\in M} \frac{\rho(r)(x_i-r_i)}{\|x-r\|^n} \, dr$$ Como la región de integración no depende de $x_i$ Si no me equivoco, podemos mover la derivada al interior de la integral y diferenciar usando la regla del cociente: $$ = \int_{r\in M}\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\rho(r)(x_i-r_i)}{\|x-r\|^n} \, dr = \int_{r\in M}\frac{\rho(r)\|x-r\|^n - n\rho(r)(x_i-r_i)^2\|x-r\|^{n-2}}{\|x-r\|^{2n}} \, dr$$ (ya que $\frac{\partial}{\partial x_i}\|x\|=\frac{x_i}{\|x\|}$ ) $$ = \int_{r\in M}\frac{\rho(r)\|x-r\|^2 - n\rho(r)(x_i-r_i)^2}{\|x-r\|^{n+2}} \, dr$$ Así que tenemos $$\nabla \cdot v= \int_{r\in M}\sum_{i=1}^n \frac{\rho(r)\|x-r\|^2 - n\rho(r)(x_i-r_i)^2}{\|x-r\|^{n+2}} \, dr$$ $$= \int_{r\in M} \frac{\sum_{i=1}^n(\rho(r\|x-r\|^2) - n\rho(r) \sum_{i=1}^n (x_i-r_i)^2}{\|x-r\|^{n+2}} \, dr$$ $$ = \int_{r\in M}\frac{n\rho(r)\|x-r\|^2 - n\rho(r)\|x-r\|^2}{\|x-r\|^{n+2}} \, dr = 0$$ Pero esto parece falso ya que contradice la ley de Gauss: esperamos obtener $\nabla \cdot v(x) = \lambda_{n-1}\rho(x)$ donde $\lambda_{n-1}$ es la superficie de una unidad $(n-1)$ -Esfera.

Como ejemplo concreto, veamos $n = 1, M = (-1,1), \rho(x) = x$ y así $$v(x) = \int_{-1}^1\frac{r\cdot (x-r)}{|x-r|} \, dr = \int_{-1}^x r \, dr + \int_{x}^1 -r \, dr = x^2 - 1$$ y así $\nabla \cdot v = 2x$ que no es idéntico a cero. ¿En qué me he equivocado? Me parece que debo estar entendiendo mal las condiciones en las que se puede intercambiar el orden de diferenciación e integración, pero este (primera ecuación de la sección "dimensiones superiores") parece ser exactamente lo que estoy haciendo (ya que el segundo término del lado derecho desaparece al no depender el área de integración de $x_i$ ).

Gracias de antemano.

Answer 1

El problema es que el integrando sólo está definido si $x\ne r$ . No estoy seguro de cómo se puede tratar esto de forma matemáticamente limpia; en física, la regla habitual es que en la diferenciación la singularidad da un término adicional que involucra al $n$ -delta de Dirac de dimensión $\delta^{(n)}(x-r)$ .

Este delta adicional se puede ilustrar muy bien con la función unidimensional (utilizaré su intervalo, pero mantenga $\rho$ general):

Claramente $$\frac{x-r}{|x-r|} = \begin{cases} 1 & x-r>0\\ -1 & x-r<0 \end{cases}$$ Tenga en cuenta que, de nuevo, esta función no está definida en $x=r$ . Sin embargo, según la definición del delta de Dirac, $$\int_{-1}^x\delta(t-r)\,\mathrm dt = \begin{cases} 0 & x<r\ (\text{that is, } r\notin(-1,x))\\ 1 & x>r\ (\text{that is, } r\in(-1,x))\\ \end{cases}$$ y por lo tanto $$\frac{x-r}{|x-r|} = -1 + 2 \int_{-1}^x\delta(t-r)\,\mathrm dt$$ Por lo tanto, podemos definir: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{x-r}{|x-r|} = 2\delta(x-r)$$ Así, obtenemos \begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}v(x) &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{-1}^1\frac{\rho(r)(x-r)}{|x-r|}\,\mathrm dx\\ &= \int_{-1}^1\rho(r)2\delta(x-r)\mathrm dx\\ &= 2\rho(x) \end{aligned} Inserción de $\rho(x)=x$ , recupera el resultado $\nabla v = 2x$ que has calculado directamente.

Answer 2

Como señaló celtschk la singularidad que se produce en el integrando cuando $x=r$ debe manejarse con cuidado. Estrictamente hablando, sus manipulaciones sólo eran válidas para cuando $x\neq r$ . En su libro "Classical Electrodynamics" J.D Jackson presenta un método para tratar esta singularidad.

Esto puede estar o no a la altura del rigor que usted busca. Lo proporciono con la esperanza de que sea útil.

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Vamos a "regularizar" la singularidad en el integrando introduciendo un parámetro positivo $\epsilon$ . En mis cálculos se utilizarán subíndices para referirse a los componentes específicos de un vector; también $\partial_j=\partial/\partial x_j$ .

$$v_i(x) = \int_M \left[ \frac{\rho(r)(x_i-r_i)}{(x^2+r^2-2x\cdot r + \epsilon^2)^{n/2}} \right] \, \mathrm{d}^n x $$

En primer lugar, calcularemos $\partial_j v_i(r)$ , entonces calcularemos $\nabla\cdot v$ contrayendo esto contra la métrica $\delta_{ij}$ .

$$\partial_j v_i(x) = \int_M \left[ \partial_j \frac{\rho(r)(x_i-r_i)}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2}} \, \mathrm{d}^n x \right]$$

$$= \int_M\left[ \frac{\rho(r)\delta_{ij}}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2}} - \frac{(n/2)\rho(r)(x_i-r_i)(2x_j-2r_j)}{(x^2+r^2-2x\cdot r + \epsilon^2)^{n/2+1}} \right] \, \mathrm{d}^n x $$

$$= \int_M\left[ \frac{\rho(r)\delta_{ij}(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2+1}} - \frac{(n)\rho(r)(x_i-r_i)(x_j-r_j)}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2+1}} \right]\, \mathrm{d}^n x $$

$$= \int_M\left[ \frac{\rho(r)\delta_{ij}(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2+1}} - \frac{(n)\rho(r)(x_ix_j-r_ix_j-x_ir_j+r_ir_j)}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2+1}} \right]\, \mathrm{d}^n x $$

Ahora podemos contraer los índices, estableciendo $i=j$ y la suma de $1$ a $n$ .

$$\nabla \cdot v(x) = \int_M\left[ \frac{\rho(r)n(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2+1}} - \frac{(n)\rho(r)(x^2-2x\cdot r+r^2)}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2+1}} \right]\, \mathrm{d}^n x $$

$$= \int_M\left[ \frac{\rho(r)\epsilon^2}{(x^2+r^2-2x\cdot r + \epsilon^2)^{n/2+1}} \right] \, \mathrm{d}^n x $$

Ahora, cuando $x\neq r$ podemos ver que cuando $\epsilon \rightarrow 0$ obtenemos una divergencia de $0$ como resultado. Esto es lo que esperaríamos en la electrodinámica si $x \notin M$ porque no hay densidad de carga fuera del conjunto. La singularidad se produce cuando $x=r$ así que consideremos el integrando en este caso específico.

$$\left[ \frac{\rho(r)\epsilon^2}{(x^2+r^2-2x\cdot r + \epsilon^2)^{n/2+1}} \right]_{x=r} = \frac{\rho(x)\epsilon^2}{(\epsilon^2)^{n/2+1}}=\frac{\rho(x)}{\epsilon^n}$$

Este resultado va claramente a $\infty$ como $\epsilon\rightarrow 0$ . Sea $\epsilon_0$ sea lo suficientemente pequeño como para que podamos encontrar una bola abierta en $M$ centrado en $x$ por cada $\epsilon < \epsilon_0$ ; llamar a la pelota $N_\epsilon$ . Entonces podemos dividir la integral en las dos partes siguientes.

$$ \nabla \cdot v(x) = \int_{N_\epsilon} (\cdots) + \int_{M- N_\epsilon} (\cdots)$$

Esta última parte, por supuesto, se reducirá a cero, ya que $\epsilon\rightarrow 0$ . Sin embargo, el primero se acercará a un valor finito. Para un valor suficientemente pequeño $\epsilon$ tendremos,

$$ \int_{N_\epsilon} \left[ \frac{\rho(r)\epsilon^2}{(x^2+r^2-2x\cdot r+\epsilon^2)^{n/2+1}}\right] \mathrm{d}^n x \approx \int_{N_\epsilon} \frac{\rho(r)}{\epsilon^n} \mathrm{d}^nx = \frac{\rho(\xi)}{\epsilon^n} S_{n-1} \epsilon^n = \rho(\xi)S_{n-1} $$

donde $\xi\in N_\epsilon$ y $S_{n-1}$ es el ángulo sólido total para un $n-1$ spehere (por ejemplo $S_2=4\pi$ ). Ya que tenemos el siguiente límite,

$$\rho(\xi)S_{n-1} \rightarrow \rho(x)S_{n-1} \text{ as } \epsilon \rightarrow 0,$$

concluimos que la secuencia de integradas parametrizadas por $\epsilon$ define un $\delta$ función. Informalmente escribimos,

$$ \boxed{\nabla\cdot \left[\frac{x-r}{\|x-r\|^n} \right] = S_{n-1}\delta^{(n)}(x-r)},$$

lo que implica que,

$$\boxed{\nabla\cdot v(x) = S_{n-1}\rho(x)}$$