¿Cómo podemos encontrar la forma cerrada de esto?

Question

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\left\lfloor\frac{2n}k\right\rfloor-2\left\lfloor\frac nk\right\rfloor\right)$$ Creo que es igual a $2(\frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac16 + \cdots)$, pero ¿tiene la forma cerrada?

Answer 1

Si utilizamos las sumas de Riemann obtenemos

$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\left\lfloor\frac{2n}k\right\rfloor-2\left\lfloor\frac nk\right\rfloor\right) = \int_{0}^{1}\left(\left\lfloor\frac{2}x\right\rfloor-2\left\lfloor\frac 1 x\right\rfloor\right)dx .$$

Es necesario evaluar la última integral.

Answer 2

$\left\lfloor\frac{2n}k\right\rfloor-2\left\lfloor\frac nk\right\rfloor$ evalúa a $0$ si $n$ (mod $k) < k/2$, e $1$ si $n$ (mod $k) \ge k/2$. Por lo que la suma cuenta el número de $k \le n$ tal que $n$ (mod $k) \ge k/2$.

Para un gran $n$, esto es aproximadamente cierto para $\frac12n < k < \frac23n$ $\frac13n < k < \frac25n$ $\frac14n < k < \frac27n,\ldots$

Así que la proporción de dichas $k$ tiende a $(\frac23 - \frac12) + (\frac25 - \frac13) + (\frac27-\frac14) = 2(\frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac16 + \cdots)$, como usted dice.

Y $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots = \log 2$. De modo que su límite es $2\log 2 - 1$.