Familia separado de discos con radios $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4},\ldots$ dentro del disco de la unidad de embalaje

Question

Existe una familia de discos $\lbrace D_{n}\rbrace_{n=1}^{\infty}$ en el plano euclidiano que

• es el radio de $D_{n}$ $\frac{1}{n+1}$,
• cada $D_{n}$ está contenida en el disco de la unidad, y
• ¿$D_{n}\cap D_{m} = \emptyset$ cada $n\neq m$?

(No estoy seguro de qué etiquetas son apropiadas para esta pregunta buena, así que si tienes alguna sugerencia, le invitamos a me comunicarlo través de comentarios)

Answer 1

Creo Apolíneo círculo de embalaje es relevante aquí. Ciertamente no es idéntica a la pregunta del tema, pero es suficiente para convencerme de que la respuesta es sí, usted puede caber discos de radios 1/2, 1/3, 1/4,... en el interior de un disco de radio 1. Esperemos que alguien más sabio que puede hacer un riguroso argumento, y resolver la cuestión de un disco de radio 5/6.

He encontrado un papel en arXiv por Alex Kontorovich y Hee Oh, lo que demuestra que para un delimitada Apolíneo círculo de embalaje, el número de círculos con una curvatura en la mayoría de N es asintótica cN^una donde a=1.30... Esta es una buena noticia para nuestro problema! Apolíneo de embalaje con avidez ajusta el mayor número posible en el vacío creado por cualquier 3 mutuamente círculos tangentes, y el número de círculos con un radio de al menos 1/N crece a medida que N^un, donde sólo tenemos que crecer como N.

Aquí está una foto de la Wikipedia de un Apolíneo embalaje, marcado por la curvatura (1/r):

El círculo exterior tiene radio 1, y queremos encontrar el espacio para los discos con curvatura 2,3,4,5,... Comparar la lista de curvaturas en la foto con la lista que desea encontrar un espacio para:

2,2,3,3,6,6,6,6,11,11,11,11,14,14,14,14,15,15,18,18,18,18,23,23,23,23,26,26,26,26,27,27, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,

27,27,30,30,30,30,35,35,35,35,35,35,38,38,38,38,38,38,38,38,... 34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,...

En todas partes de la curvatura en la parte inferior de la lista es $\geq$ la curvatura en la parte superior de la lista, podemos acaba de encajar nuestro disco en el interior del círculo correspondiente en el Apolíneo de embalaje. El único caso en la lista de lo que no cabe es 10-- pero ya hemos dejado el espacio no utilizado varias veces ya, es claro que podemos hacer espacio para él. Por supuesto, el cambio de cosas para hacer que la habitación se rompe el Apolíneo de embalaje (aunque podemos dejar de tres cuartas partes de los intacto); pero seguro que parece que tienen un montón de espacio a la izquierda, y la fórmula asintótica también sugiere que estamos a salvo. No he visto de cerca el papel de cualquiera de límites explícitos que hacen de este riguroso. Me doy cuenta de que es sólo un boceto, pero espero que convincente.

La segunda Apolíneo de embalaje de la imagen es análoga a la radio=5/6 caso, la escala de 5x.

Aquí, queremos ajuste discos con curvatura 10,15,20,25,30,35,40,45,50,... Estamos en problemas ya con 30 (el disco de radio 1/6), y vamos a tener que cambiar las cosas a su alrededor un poco para que se ajuste a nuestros discos. El Apolíneo de embalaje no conduce a una solución tan fácil como parece en el radio de 1 caso. Sin embargo, la fórmula asintótica sugiere que si se puede empacar los N primeros discos (para N tal vez no muy grande), que habrá un montón de espacio para el resto. Uno tendría que resolver algunos detalles para encontrar el valor de N.

Answer 2

La siguiente es la rigurosa construcción de embalaje.

Considere la siguiente imagen:

En esta foto de discos con curvaturas 2,2,3,3,6,6,6,6,11,11,11,11 están colocadas dentro de una unidad de disco. Uno puede demostrar la corrección de esta imagen mediante la resolución de ecuaciones cuadráticas. Me quiero cortar círculos con curvaturas 2,3,4,5,6,... de estas: uso ya obtenidos con los círculos de curvas 2 y 3. Utilice el segundo círculo con la curvatura de 2 para el corte de 4,6,8,10,16,... (todos incluso curvaturas, comenzando con 4), utilizando repitiendo el mismo procedimiento de escalado para el círculo con la curvatura de 2. El uso de la segunda 3 para el corte de 5 y 9. 6 para el corte de 7. El uso de 11 por 11.

Ahora tenemos círculos con radios de 6, 6 y 6. Utilice el mismo procedimiento para obtener círculos con curvaturas 6*2, 6*3, 6*4, ... = 12, 18, 24, ... a partir de ellos, cada repetir 3 veces. El uso de 12, 12 y 12 por 13, 15, 17; 18 para 19, 21, 23; 24 y 25, 27, 29 y así sucesivamente.

Uno puede comprobar, que las palabras "usar el mismo procedimiento" está bien, porque si vamos a utilizar el esquema que se describe más arriba para cortar círculos, uno por uno (2, luego 3, luego 4, luego 5, luego 6, luego 7 en este orden) inmediatamente repitiendo los pasos descritos en círculos pequeños, nunca usaremos resultado de la etapa antes de que el paso de la misma.