Deje $f:[0,1]\to[0,1]$ ser continua, a continuación, $f$ asume el valor de $\int_0^1 f^2(t)dt$ en algún lugar de $[0, 1].$

Question

Prueba de verdadero/Falso: Vamos a $f:[0,1]\to[0,1]$ ser continua, a continuación, $f$ asume el valor de $\int_0^1 f^2(t)dt$ en algún lugar de $[0, 1].$

$$f:[0,1]\to[0,1]\implies f^2:[0,1]\to[0,1]\implies 0\le\int_0^1 f^2(t)dt\le1$$

Así que es verdad.

pero el papel dice que la declaración es falsa.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Leer la tarea con cuidado. Se demostró que el $\int_0^1 f^2(t)dt\in[0,1]$. La tarea sin embargo pide, si $f$ asume el valor de la integral, es decir: hay un $x\in[0,1]$, de tal manera que $f(x)=\int_0^1 f^2(t)dt$? Este es de hecho el mal, se puede pensar en un contraejemplo utilizando la siguiente sugerencia:

Sugerencia: Deje $f$ ser una función constante, $f(x)=c$ algunos $c\in[0,1]$. A continuación, $f$ asume el valor de $\int_0^1 f^2(t)dt$, iff $\int_0^1 f^2(t)dt=c$. Piense acerca de cómo elegir los $c$ para obtener un contraejemplo.