La transformada de Fourier de expansión en funciones propias del operador de Laplace

Question

Proceso térmico en una delgada homogénea de longitud de la varilla $ l $ en el intervalo de tiempo (0, T] . La superficie lateral de la barra está aislada térmicamente. La temperatura de uno de los extremos de la barra es constante e igual a $ u{}_0$ . En el otro extremo, hay intercambio de calor con el entorno descrito por la ley de Newton con el coeficiente de transferencia de calor $ \alpha $.La temperatura inicial es distribuido de acuerdo a la ley $u(x, 0) = \eta(x) $.

Mi modelo matemático: $$ u (x,t){}_t = \frac{k}{c} u(x,t){}_{xx}, 0 <x < l, 0 < t < T $$ condición inicial: $$ u(x,0) = \eta(x) , 0 < x < l $$ Las condiciones de la frontera: $$ u(0,t){}_x = 0, 0 < t < T $$ $$ u(l,t){}_x = -\frac{\alpha}{k}(u - u{}_0), 0 < t < T $$ Estoy haciendo un reemplazo de la $ w = u - u{}_0 $

Estoy tratando de hacer una expansión de Fourier de funciones propias del operador de Laplace. Tengo descomposición: $$ w(x,t) = \sum\nolimits_{n=1}^\infty cos(\sqrt{\lambda{}_n} x) A{}_n e^{\frac{-k \lambda{}_n t}{c}} $$ Después de la sustitución de las condiciones iniciales, he obtenido:

$$ w(x,0) = \eta(x) - u{}_0 = \sum\nolimits_{n=1}^\infty cos(\sqrt{\lambda{}_n} x) A{}_n $$ es allí cualquier propiedad o de la técnica para encontrar los coeficientes de Una? Pido disculpas por la pregunta estúpida.

Answer 1

Su título es confuso. Esto la ecuación del calor por una varilla que es un ejemplo clásico.

La configuración del problema

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \tag{1}$$

con los límites dados como

$$ BC1 : \frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0 \\ BC2 : \frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = \frac{-\alpha }{k}(u -u_{0}) \tag{2}$$

y la condición inicial $$ IC: u(x,0) = \eta(x) \tag{3} $$

Si resuelve que usted debe conseguir

$$ \phi(x) = c_{1}\cos(\sqrt{\lambda}x) +c_{2}\sin(\sqrt{\lambda}x) \tag{4} $$ lo que da

$$ \frac{d\phi}{dx} = \sqrt{\lambda} \big( -c_{1} \sin(\sqrt{\lambda} x) +c_{2}\cos(\sqrt{\lambda}x \tag{5} \big)$$

entonces

$$ \frac{d\phi(0)}{dx} = 0 \implies c_{2} = 0 \tag{6}$$

así que la ecuación se convierte en

$$ \phi(x) = c_{1}\cos(\sqrt{\lambda}x) \tag{7} $$

para determinar los autovalores tenemos

$$ \frac{d\phi(L)}{dx} = -c_{1}\sqrt{\lambda} \sin(\sqrt{\lambda} L) = -\frac{-\alpha}{k}(u-u_{0}) \tag{8}$$

Si tengo que interpretar la segunda condición de contorno se puede conseguir algo como esto.

$$ \frac{d\phi(L)}{dx} = -c_{1}\sqrt{\lambda} \sin(\sqrt{\lambda} L) = -\frac{-\alpha}{k}\bigg(c_{1} \cos(\sqrt{\lambda} L) + \eta(L) \bigg) \tag{9}$$

Para la siguiente parte

$$ u(x,t) = A_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} \cos(\sqrt{\lambda}x) e^{- \lambda \frac{k}{c}t} \tag{10} $$

Obtención de los coeficientes

Hay algo que se llama la transformada de Fourier del truco. Se trata de la ortogonalidad de las funciones propias con diferentes valores propios. Este es el original de la derivación, es simplemente para homogénea límites.

$$ \int_{0}^{L} \cos(\frac{n \pi x}{L} ) \cos(\frac{m \pi x}{L} )dx =\begin{align}\begin{cases} 0 & n \neq m \\ \frac{L}{2} & n = m \neq 0 \\ L & n = m =0 \end{cases} \end{align} \tag{11}$$

$$ \int_{0}^{L} \eta(x) \cos(\frac{m \pi x}{L}) dx = \sum_{n=0}^{\infty} A_{n} \int_{0}^{L} \cos(\frac{n \pi x}{L}) \cos(\frac{m \pi x}{L}) dx \tag{12}$$

el uso de la ortogonalidad tenemos

$$ \int_{0}^{L} \eta(x) \cos(\frac{m \pi x}{L}) dx = A_{m} \int_{0}^{L} \cos^{2} \frac{m \pi x}{L} dx \tag{13} $$

cuando $m=n$, hay dos casos $m=0$, $m\neq 0$ que el rendimiento por debajo de los resultados.

$$ A_{0} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \eta(x) dx \tag{14}$$ $$ A_{m} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} \eta(x)\cos(\sqrt{\lambda}x) dx \tag{15}$$

Si usted nota cuando evaluamos la mano derecha de la expresión a continuación vamos a obtener las ecuaciones, 14 y 15.

$$ \int_{0}^{L} \eta(x) \cos(\frac{0 \pi x}{L}) dx = A_{0} \int_{0}^{L} \cos^{2} \frac{0 \pi x}{L} dx \tag{16} $$

$$ \int_{0}^{L} \eta(x) dx = A_{0} \int_{0}^{L} 1 dx \tag{17} $$ $$ \int_{0}^{L} \eta(x) dx = A_{0} L \tag{18} $$ Así que simplemente dividir por $L$ dando $$ A_{0} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \eta(x) dx \tag{19} $$

Con el fin de obtener $A_{m}$ si usted mira en línea $11$ no es el caso de $2$ y miramos hacia abajo a la línea de $13$. A continuación, habría que observar la parte derecha de la expresión se evaluará a $\frac{L}{2}$

$$ \int_{0}^{L} \eta(x) \cos(\frac{m \pi x}{L}) dx = A_{m} \int_{0}^{L} \cos^{2} \frac{m \pi x}{L} dx \tag{20} $$ $$ \int_{0}^{L} \eta(x) \cos(\frac{m \pi x}{L}) dx = A_{m} \frac{L}{2}\tag{21} $$ Si usted se mueve alrededor de este, a continuación, obtenemos $$ A_{m} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} \eta(x) \cos(\frac{m \pi x}{L}) dx \tag{22} $$