Número esperado de los objetivos golpeados emparejado con tiradores

Question

Considere la posibilidad de $n$ blancos, con 2 tiradores destinado a cada destino, como se muestra en la imagen de abajo. Si hemos de escoger al azar a $k$ $2n$ a los tiradores a fuego, ¿cuál es el número esperado $E(k)$ de los objetivos que se verán afectados?

Yo, por supuesto, pueden resolver esto para los casos simples y hacer algunas observaciones generales, por ejemplo:

• Trivialmente $E(1)=1$, para cualquier $n$.

• Para $k=2$, corregir uno de los shooter, y la probabilidad de que el otro aleatoriamente elegido es su 'socio' es $\frac{1}{2n-1}$, en el que caso de que uno de los objetivos es golpeado; de lo contrario, los dos objetivos de un golpe. A partir de estos probabilidad de que la expectativa fácilmente de la siguiente manera.

• Si $k>n$, entonces al menos uno de los objetivos se tiene tanto sus tiradores de tiro a él. A quitarlo y a considerar el problema con $n-1$ objetivos. Hacer esto de forma recursiva hasta que $k\leq n$. Así que la única forma exclusiva casos interesantes se $3 \leq k \leq n$.

Me pregunto si esto puede ser resuelto en el caso general. La expectativa de que será suficiente para mí, pero, por supuesto, la exacta distribución de probabilidad sería incluso mejor.

Answer 1

La probabilidad de que algunas objetivo es golpeado, se $$1-\frac{\binom{2n-2}{k}}{\binom{2n}{k}}=1-\frac{(k-2n)(k-2n+1)}{2n(2n-1)}=\frac{k^2-4kn+k}{2n-4n^2}$$

El número esperado de golpe targest es $n$ veces esta probabilidad.

Por eso, $$E(X)=\frac{k^2-4kn+k}{2-4n}$$

Debe ser mucho más difícil de calcular las probabilidades de que $m$ objetivos de un golpe.

Answer 2

Concentrarse en el primer objetivo. La probabilidad es el golpe es $$1- \dfrac{{2n-2 \choose k}}{{2n \choose k}}= 1- \dfrac{(2n-k)(2n-k-1)}{(2n)(2n-1)}= \dfrac{k(4n-k-1)}{(2n)(2n-1)}.$$

Por la linealidad de las expectativas, se espera que el número de objetivos golpeados es $n$ veces esta, es decir, $$\dfrac{ k(4n-k-1)}{4n-2}$$ giving $E[1]=1$ and $E[2n]=$ n, como se podría esperar.