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La Distancia euclídea en una Esfera

Tengo que la distancia Euclidiana en la superficie de una esfera en términos del ángulo que sobrepasan en el centro es

$(\sqrt{2})R\sqrt{1-\cos(\theta_{12})}$

(Donde $\theta_{12}$ es el ángulo en el que los dos puntos que sobrepasan en el centro.)

¿Por qué es esta; ¿cuál es la prueba?

Saludos, Alex (Bristol Uni Matemáticas)

4voto

Anthony Shaw Puntos 858

Considere el diagrama:

$\hspace{4cm}$enter image description here

El uso de la identidad de $\cos(\theta)=1-2\sin^2(\theta/2)$, la distancia es de $$ 2r\sin(\theta/2)=r\sqrt{2-2\cos(\theta)} $$

2voto

Shery Puntos 16

Basta con dibujar una imagen de la intersección de la esfera con un plano que contiene el centro y los dos puntos.

La distancia euclídea es la longitud de un hypoteneuse de un triángulo cuyos otros dos lados tienen longitudes $R\cdot \sin(\theta_{12})$$R\cdot (1-\cos(\theta_{12}))$, respectivamente. A continuación, aplicar el teorema de Pitágoras.

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