De Primer Orden De La Variante En El Tiempo Del Sistema : Método De Picard

Question

Yo mirando una variante de tiempo de sistema de primer orden. Estoy tratando de probar que una secuencia de funciones de $x^{[k]}(t)$ generado mediante iteraciones de Picard converge uniformemente en un intervalo $[0,T]$.

Dado:

$\dot{x}(t)=A(t)x(t)$ donde $x(0)=x_0$

$x(t)=x∈R^n$ donde $A(t)$ $n×n$ matriz

Suponga que existe $M$ tal que $||A(t)||\le M$ todos los $t\ge 0$ y $A(t)$ es una función continua a trozos. Demostrar que, para cualquier $T > 0$, existe una solución en el intervalo de $[0,T]$.

Sé que $x(t)=x_0+\int^t_0A(τ)x(τ) dτ$ deben ser satisfechos si la solución no existe.

Estoy supone que el uso de iteraciones de Picard para demostrar esto, que yo no estoy familiarizado con. Pero yo sé que ellos son de la forma: $x^{[k+1]}=x_0+\int^t_0A(τ)x^{[k]}(τ) dτ$. Donde $x^{[0]}(t)=x_0$

Puedo utilizar el estándar de Picard prueba para demostrar esto o tengo que empezar en otro lugar?

Me pidieron también para mostrar que este método satisface

$|x^{[k+1]}(t)-x^{[k]}(t)|\le |x_0| $$\frac{π^{k+1}(t)}{(k+1)!}$ donde $π(t)=\int^t_0||A(τ)||dτ$.

No tengo idea de por donde empezar con esto, pero espero que sea más claro una vez que termino la primera parte.

Answer 1

Lo que vas a usar es una versión generalizada del punto fijo de Banach teorema. Si $F$ es un punto fijo del operador en algunos completar el espacio $X$ y cada iteración composición $F^m$ tiene una constante de Lipschitz $L_m$ en el conjunto de la $X$$\sum_m L_m<\infty$, entonces la iteración de punto fijo converge al único punto fijo.

Lo que se demuestra es que para $X=C([0,T])$ $F$ la Picard iteración, se obtiene $L_m=\frac{\pi(T)^m}{m!}$, de modo que $\sum_{m=1}^\infty L_m=e^{\pi(T)}-1<\infty$. Prueba de ello es a través de la inducción. La inducción de la demanda es que $$ \|F^n(x)-F^n(y)\|_{C([0,t]}\le \frac{\pi(t)^m}{m.}\|x-y\|_{C([0,t]} $$ donde $$ \|u\|_{C([0,t]}=\max_{s\[0,t]}|u(s)| $$ es habitual el supremum norma en el espacio de funciones continuas restringido a la indicada en el dominio $[0,t])$.

En la inducción de la prueba para el paso de $n=k-1$ $n=k$calcular, usando $\pi'(t)=\|A(t)\|$, \begin{align} \|F^k(y)(t)-F^k(x)(t)\| &=\left\|\int_0^tA(s)[F^{k-1}(y)(s)-F^{k-1}(x)(s)]\,ds\right\| \\ &\le\int_0^t\|A(s)\|\,\left\|F^{k-1}(y)(s)-F^{k-1}(x)(s)\right\|\,ds \\ &\le\int_0^t\pi'(s)\frac{\pi(s)^{k-1}}{(k-1)!}\|y-x\|_{C([0,s])}\,ds \\ &\le \frac{\pi(t)^k}{k!}\|y-x\|_{C([0,t])}\le \frac{\pi(T)^k}{k!}\|y-x\|_{C([0,T])} \end{align}