deje $S_4$ denotar el grupo de permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ y deje $H$ ser un sub grupo de $S_4$ orden $6$ .

Question

Deje $S_4$ denotar el grupo de permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ y deje $H$ ser un sub grupo de $S_4$ orden $6$ . Mostrar que $\exists~ i \in \{1,2,3,4\}$ que es fijado por cada elemento de a $H$.

Intento: Como por la pregunta, $H$ es un sub grupo de $S_4$ orden $6$ .

Tenemos que probar que $\exists~ i \in \{1,2,3,4\} ~ s.t. ~ \alpha(i) = i ~\forall ~\alpha \in H$ . Así que, Si puedo demostrar que $ H \subseteq Stab_G (i)$ , a continuación, puede probar la misma.

Ahora, por la órbita estabilizador teorema, tenemos $|G| = |Stab_G (i)|~|Orb_G(i)|$ .

{ Por lo tanto, si $G$ es un grupo de permutaciones de un conjunto $S$. Para $\forall ~s \in S$, $orb_G(s)= \{\phi(s)~ | ~~\phi \in G .$ El conjunto $orb_G(s)$ es un subconjunto de a $S$ llama la órbita de $s$ bajo $G$. }

También sabemos que $Stab_G(i)$ es un subgrupo de $G$.

SI me muestran que la $\exists ~orb_G(i)$ tal que $| orb_G(i) |=4$ bajo $G$, entonces se nos hace debido a $Stab_G (i)$ ya es un subgrupo de $G$.

Así que, mi problema se reduce a encontrar una $i$ tal que $| orb_G(i) |=4$

EDIT : también sé que Desde $S_4$ no tiene elementos de orden $6$, por Lagrange del teorema de los elementos de H debe tener órdenes de $2$ o $3 $, lo que significa que puede ser que se $2$ cíclica o $3$ ciclo

¿Cómo puedo encontrar una $i$. Puedo escribir ahora todos los elementos de a $S_4$? Escribir todo parece tedioso y poco práctico, aunque ? La ayuda será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Desde $S_4$ no tiene elementos de orden $6$, los elementos de $H$ debe tener órdenes de $2$ $3$ (y, por supuesto, $1$ para el neutro eleement). Especialmente, $H$ tiene un elemento de orden $3$, que debe ser un 3-ciclo de $(a\,b\,c)$. (Thenalso contiene $(a\ c\,b)$). Deje $d$ ser un elemento que no pertenece a este 3-ciclo. También, $H$ tiene un elemento de orden $2$, que puede ser de la forma $(x\,y)$ o $(x\,y)(u\,v)$. En el primer caso, si $d\notin \{x,y\}$, hemos terminado. De lo contrario, tenga en cuenta que por ejemplo, $(a\,b\,c)(a\,d)=(a\,d\,b\,c)$ es de orden $4$ y no puede ser $\in H$. Por el otro formulario, tenga en cuenta que, por ejemplo,$(a\,b\,c)\cdot (a\,b)(c\,d)=(a\,c\,d)$$(a\,c\,b)\cdot (a\,b)(c\,d)=(b\,c\,d)$, de donde nos encontramos, al menos, $6$ elementos de orden $3$$H$, lo cual es imposible.