La matriz de la Ecuación Diferencial con un Sesgo de simetría de la Matriz de

Question

A partir de un banco de exámenes de maestros:

Dicen que la posición de una partícula que se mueve en $\mathbb{R}^n$ es administrado por un suave vector de valores de la función $\vec{x}(t)$. Supongamos que $\vec{x}(t)$ satisface una la ecuación diferencial, $$ \frac{d\vec{x}}{dt} = A(t)\vec{x},$$ donde $A(t)$ es un real anti-simétrica matriz, en función de sin problemas en $t$. Muestran que este la partícula se mueve en una esfera, que es, $||\vec{x}(t)||$ es constante.

Por el teorema espectral, $A$ es normal y por lo tanto tiene una completa base de vectores propios en $\mathbb{C}^n$. Estoy familiarizado con el método "estándar" de la solución de la matriz exponenciales, es decir, encontrar los valores y vectores propios de a $A$, y, a continuación, utilizando las combinaciones lineales de $e^{\lambda t}\vec{x}$ como de las soluciones, pero no hay una completa base de vectores propios en $\mathbb{R}$. Tomando la matriz exponencial $e^A$ no parece hacer nada.

Answer 1

Tomando de user8268 y Shiyu:

Calcular el tiempo derivado de la $||\vec{x}||^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$, que se convierte en

$ \begin{align} \frac{d}{dt} ||\vec{x}||^2 &= \frac{d}{dt} (\vec{x} \cdot \vec{x}) \\ &= \frac{d\vec{x}}{dt} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \frac{d\vec{x}}{dt} \\ &= 2 \left( \vec{x} \cdot \frac{d\vec{x}}{dt} \right) \\ &= 2 \left( \vec{x} \cdot A \vec{x} \right) \\ &= 2 \left( \vec{x}^T A \vec{x} \right) = 2(0) = 0 \end{align} $

La última línea es verdadero, porque el $\vec{x}^TA\vec{x} = 0$ todos los $\vec{x}$ si $A$ es sesgar-simétrica. Por lo tanto, $||\vec{x}||^2$ es constante, lo que implica que $||\vec{x}|| \geq 0$ es constante.

Answer 2

Skew-simétrica matrices tienen autovalores imaginarios puros (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrix). Esto significa que la matriz rotar un vector por $\pi/2$ (para dimensiones impares también hay un autovalor 0). Esto implica que la dirección del cambio es siempre perpendicular a la posición. Suena como una esfera para mí.