Cuántas clases de equivalencia de) funciones periódicas $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$, del período $N$, satisfacer $$\sum_{i \le n \le j} f(n) \in \{-1,0,1\}$$ para todos los pares de enteros $(i,j)$?
Considero dos funciones equivalentes si son relacionados por un simple cambio, por lo tanto "(clases de equivalencia)".
Escribí un programa de ordenador para el recuento de estas funciones para valores pequeños de a $N$, y escupir la primera docena de términos de http://oeis.org/A008965 . Sin embargo, yo no puedo ver ninguna relación sencilla entre las cosas que se cuentan allí (collares de perlas agrupan en conjuntos), y las cosas que estoy contando (funciones periódicas con cierta propiedad). Así que lo que estoy preguntando es por qué los números de funciones son los mismos que los números de collares, o en otras palabras como mapa de un problema a otro.
Como ejemplo, aquí están las 13 funciones para $N=6$:
[1, 0, 0, 0, 0, -1], [0, 1, 0, 0, 0, -1], [1, -1, 1, 0, 0, -1], [0, 0, 1, 0, 0, -1], [1, 0, -1, 1, 0, -1], [0, 1, -1, 1, 0, -1], [1, -1, 0, 1, 0, -1], [0, 0, 0, 1, 0, -1], [1, -1, 1, -1, 1, -1], [0, 0, 1, -1, 1, -1], [0, 1, -1, 0, 1, -1], [0, 0, 0, 0, 1, -1], [0, 0, 0, 0, 0, 0]
y aquí están los 13 collares con un total de 6 perlas:
(2, 3, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1), (1, 5), (2, 1, 3), (6), (2, 1, 2, 1)
Hay 13 de cualquiera de ellos, pero no veo la manera de poner en un natural 1-a-1 de la correspondencia. Y yo estaría muy sorprendido si se tratara de una coincidencia, porque la secuencia de los partidos de hasta 351, momento en el que mi lugar de fuerza bruta programa comenzó a tomar demasiado tiempo.
