Demostrar que los cuatro grupos $\{1,a,b,c \}$ no es cíclico.

Question

Sólo quiero asegurarme de que tengo la idea de derecho aquí.

El Enunciado del Problema:

Demostrar que los cuatro grupos $\{1,a,b,c \}$ no es cíclico.

Mi Respuesta:

Como lo que puedo decir, este es el Klein cuatro grupos y solo me falta comprobar los subgrupos generados por cada elemento. Si alguno de ellos es el de todo el grupo, entonces es cíclico; de lo contrario, no es cíclico. Bien:

$$<1> = \{ 1 \} \\ <a> = \{ 1, a \} \\ <b> = \{ 1,b \} \\ <c> = \{ 1, c \}$$

Obviamente, ninguno de estos es igual a $\{1,a,b,c \}$, por lo que el grupo no es cíclico.

Es que es?

Answer 1

Un grupo cíclico de orden $4$ tiene un elemento de orden cuatro, y el Klein cuatro grupo no: cada elemento es de orden $2$. Alternativamente, un grupo cíclico de orden cuatro tiene un único subgrupo de orden $2$, y el Klein cuatro grupo tiene tres (distinta) subgrupos de orden dos.

Answer 2

Sí, la prueba es correcta.

(Látex nota: los corchetes angulares son codificadas como \langle a\rangle en lugar de <a>. El ex vuelve $\langle a\rangle$ y el segundo se convierte en $<a>$.)

Answer 3

Todos los elementos de la Klein - Cuatro grupo son de orden 2, excepto para el elemento de identidad en el grupo. Por lo tanto, para todo t en G, |t|= |<(t)>| <=2 < 4, entonces para todo t en G, es un subconjunto de G, por lo que no es igual a G, para todo t en G. por lo Tanto, el Klein Cuatro Grupo no es cíclico.