Ejemplo de espacio separable pero que no es un espacio de Hausdorff.

Question

Dé un ejemplo de un espacio topológico que sea separable pero que no sea un espacio de Hausdorff.

No he podido descubrir un ejemplo, he pensado en el espacio de Arens-Fort porque este es separable, ya que este espacio es contable y el mismo conjunto es un contable denso sobre sí mismo, pero no sé cómo demostrar que es segundo contable. Este espacio sirve como ejemplo, hay algunos otros más. Gracias

Answer 1

Basta con tomar un espacio finito que no sea Hausdorff, como el conjunto $X=\{s,\eta\}$ con la topología donde los conjuntos abiertos son $X$ , $\emptyset$ y $\{\eta\}$ .

Answer 2

$\pi$ -Base que se basa en los datos de Steen y Seebach Contraejemplos en topología , enumera los siguientes espacios separables, no Hausdorff. Puede obtener más información sobre estos espacios consultando el resultado de la búsqueda .

Topología de complemento compacto

Topología de puntos excluidos contables

Topología de puntos particulares contables

Topología de números enteros eliminada

Topología del divisor

Reales de doble punta

Topología de complemento finito en un espacio contable

Topología de complemento finito en un espacio incontable

Topología de puntos excluidos finitos

Topología de puntos particulares finitos

Topología Hjalmar Ekdal

Topología Indiscreta

Topología de intervalos de enclavamiento

Topología compacta máxima

Topología de intervalos anidados

Topología impar-Even

Compactación de un punto de los racionales

Topología de intervalos superpuestos

Topología ideal primaria

Topología de orden correcto en los Reales

Espacio Sierpinski

Topología de la telofase

La escoba de los números enteros

Topología de puntos particulares incontables

Answer 3

Hay muchos ejemplos. Los ejemplos más sencillos son los siguientes:

1, Topología Indiscreta

2, Topología de complemento finito en un conjunto contablemente infinito

Answer 4

Dado que cualquier conjunto X es contable si existe un mapa biyectivo de X a un subconjunto de N Si m es un entero fijo +ve tal que (12345..........m) es ese subconjunto de N entonces m es la cardinalidad de X, y X es contable. Así que aquí me veo obligado a decir que la topología de complemento finito en un conjunto contable (infinito) no es Hausdorff . Si X es finito entonces (X,Tf) es una topología discreta por lo que se convierte en Hausdorff.