Mi pregunta:
Si$0<|z|<1$, muestra que$\frac{1}{4}|z|<|1-e^z|<\frac{7}{4}|z|$ ($z$ es complejo)
lo que he intentado
Intenté expandir el término medio en su serie de Taylor, pero no puedo obtener el límite apropiado.
Respuesta
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El Maclaurin de expansión de $e^z - 1$ es
$$z + \frac{z^2}{2!} + \cdots + \frac{z^N}{N!} +\cdots \tag{*}$$
Desde $0 < |z| < 1$ $k! \ge 2\cdot 3^{k-2}$ todos los $k \ge 2$, entonces, por la desigualdad de triángulo, (*) es estrictamente delimitada anteriormente en el módulo por
$$\left[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2+\cdots\right]|z| = \left(1 + \frac{1/2}{1-1/3}\right)|z| = \frac{7}{4}|z|.$$
Por un argumento similar, (*) es estrictamente delimitada por debajo en el módulo por
$$\left[1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right) + \cdots\right)\right]|z| = \left(1 - \frac{1/2}{1 - 1/3}\right)|z| = \frac{1}{4}|z|.$$
Por lo tanto,
$$\frac{1}{4}|z| < |e^z - 1| < \frac{7}{4}|z|\qquad (0 < |z| < 1).$$
Desde $|e^z - 1| = |1 - e^z|$, la desigualdad anterior es la misma que la de la desigualdad.
