Encontrar el complemento topológico de un subespacio dimensional finito.

Question

Yo sé que para cualquier finito dimensionales subespacio $F$ de un espacio de banach $X$, siempre hay un subespacio cerrado $W$ tal que $X=W\oplus F$, es decir, cualquier finito dimensionales subespacio de un espacio de banach es topológicamente complementa.

Sin embargo, me pregunto si se puede poner alguna condición en el subespacio complementado. El problema en el que estoy trabajando es la siguiente:

Deje $X$ ser un infinito dimensional subespacio. Supongamos que tenemos \begin{equation*} X=\overline{F_1\oplus F_2\oplus F_3\oplus\cdots} \end{ecuación*} donde todos los $F_j$'s son finitos dimensiones de los subespacios de $X$ con dimensiones mayores que 1.

Podemos encontrar un subespacio cerrado $W$ tal que $X=F_1\oplus W$$W\supset \overline{F_2\oplus F_3\oplus\cdots}$?

O, equivalentemente, podemos encontrar un vector $x\in F_1$ que se encuentra fuera de la cerrada lineal lapso de $F_j$ $(j\neq 1)$?

Gracias!

Answer 1

Edit: todavía no estoy completamente seguro de que entiendo su notación. Para esta respuesta, $F \oplus G$ significa que la suma algebraica de $F, G$, yo.e $F \oplus G = \{x + y : x \in F, y \in G\}$, con el requisito de que $F \cap G = \{0\}$, e $F = F_1 \oplus F_2 \oplus \dots$ significa $$F = \bigcup_{n \ge 1} F_1 \oplus \dots \oplus F_n.$$

La respuesta a tu pregunta es: no necesariamente. Por ejemplo, puede ser que $F_2 \oplus F_3 \oplus \dots$ es denso en $X$.

Para ser explícitos, tome $X = C([0,1])$. No entiendo muy bien el punto de querer el $F_n$ a tiene dimensión mayor que 1, y que hará que este ejemplo un poco desordenado, pero para $n \ge 2$ deje $F_n$ ser el lapso de $x^{2n-4}$$x^{2n-3}$. A continuación, $F_2 \oplus F_3 \oplus \dots$ es, precisamente, el espacio de $P$ de polinomios, que por la aproximación de Weierstrass es el teorema de densidad en el $X$. Deje $g_1, g_2$ ser bump funciones de apoyo en $[0,1/4], [3/4,1]$ respectivamente, y deje $F_1$ ser el lapso de $g_1$$g_2$. Cada función en $F_1$ se desvanece de forma idéntica en $[1/4, 3/4]$ así que si es un polinomio es 0. Por lo tanto $F_1 \cap P = \{0\}$, lo $F_1 \oplus F_2 \oplus \dots$ es todavía una suma directa, y todavía es denso en $X$ (ya que contiene $P$), por lo que su hipótesis están satisfechos. Pero la única $W$ que contiene $\overline{F_2 \oplus F_3 \oplus \dots} = X$ $X$ sí, y por lo $W \cap F_1 = F_1$.