¿Tiene$\int_{0}^{1} (-1)^x dx$ alguna interpretación geométrica?

Question

He calculado la integral de esta función compleja $(-1)^x$:

$$\int_{0}^{1}(-1)^x dx = \frac{(-1)^x}{\mathrm{Ln}(-1)}\bigg|_{0}^{1}=\frac{(-1)^x}{\ln|-1|+i\theta(-1)}\bigg|_{0}^{1}=\frac{(-1)^x}{i\pi}\bigg|_{0}^{1}=-\frac{2}{i\pi}=\frac{2i}{\pi}$$ Este es el argumento de $(-1)^x$:

¿Este valor tiene ningún sentido geométrico, como podría ser la zona de algo relacionado con el gráfico multiplicado por $i$?

(También, por favor verifique mi cálculo. He utilizado la rama principal de logaritmo, pero no estoy seguro de si eso es lo que se supone que debo hacer en este caso).

Gracias!

Answer 1

Una definición de$(-1)^x$ es$e^{i \pi x}$; Esta es la trama mostrada en el OP. Si mantiene esta definición en todo el dominio$[0,1]$, entonces

PS

Para completar, en general,$$\int_0^1 (-1)^x dx = \int_0^1 \cos(\pi x) dx + i \int_0^1 \sin(\pi x) dx = \frac{2i}{\pi}.$ es la función multivalor$(-1)^x$