Grupo de Galois de un polinomio con ceros reales

Question

Dejemos que $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ sea un polinomio irreducible de grado $n$ cuyos ceros son todos reales. Si $K$ es un campo de división de $f(x)$ es cierto que $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ puede ser incrustado en $A_{n}$ ? Si $f(x)$ tiene ceros complejos, entonces su grupo de Galois tiene un mapa de conjugación compleja que corresponde a una transposición en $S_{n}$ . De ahí que piense que el grupo de Galois del polinomio con ceros reales no tendrá ninguna permutación impar, lo que implica que su grupo de Galois es un subgrupo de $A_{n}$ .

Espero que esto sea cierto ya que esto puede dar una nueva prueba del problema de Galois inverso para $A_{n}$ . Podemos demostrar que $p(x) = A(x-1)\cdots (x-n)+1$ es irreducible y sólo tiene ceros reales para algunos grandes $A$ por lo que tendría un grupo de Galois que es un subgrupo de $A_{n}$ (si la afirmación anterior es cierta) y parece que el grupo de Galois será $A_{n}$ para la elección adecuada de $A$ Aunque no sé si este argumento es cierto o no.

Answer 1

Supongo que en su notación tiene que $n = \deg f$ . Si este es el caso, entonces su suposición no es correcta. Por ejemplo, tome el polinomio:

$$p(x) = x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 3x - 1$$

que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y también tiene $4$ verdaderas raíces . En el otro lado PARI/GP da que el grupo de Galois de $p(x)$ en $\mathbb{Q}$ es $S_4$ y desde aquí es obvio que no se puede incrustar en $A_4$ .

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También podemos calcular el grupo de Galois de $p(x)$ en $\mathbb{Q}$ utilizando el método descrito en aquí . No es difícil averiguar el resolvente cúbico, que es:

$$R_3(x) = x^3 - 3x^2 - 11x + 4$$

Se trata de un polinomio irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ . Combinándolo con el hecho de que $\operatorname{disc} f = 8789 = 11 \cdot 17 \cdot 47$ no es cuadrado, concluimos que el grupo Galosi de $p(x)$ en $\mathbb{Q}$ es isomorfo a $S_4$