Buscar el valor de

Question

Supongamos que f es continuo en$[0,1]$. Encontrar

PS

Mis intentos: estaba pensando en la suma de Riemann ... pero$$L=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (-1)^k f(\frac{k}{n}) $ crea confusión.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Contrariamente a su nombre, no son estúpidos. Posee una capacidad muy importante en la resolución de problemas: darse cuenta de cuando se tomó el enfoque equivocado. En tal caso, usted sólo tiene que abandonar ese camino, y pensar acerca de uno diferente.

Aquí, la continuidad es la clave. Por otra parte, la continuidad en un acotado, intervalo cerrado, lo que implica la continuidad uniforme. Así que si $n$ es grande, los valores de $f(k/n)$ $f((k+1)/n)$ están muy cerca el uno del otro.

Espero que esta sugerencia de ayuda. La mente de las fronteras! Lo que si $n$ es impar? Lo que si $n$ es aún?

Answer 2

Estoy aquí para dar un ejemplo análogo. Tal vez este método también es aplicable a su pregunta.

Calcular $\sum_1^\infty (-1)^{n-1} 1/n$.

Si tenemos un poco de conocimiento acerca de la serie armónica $\sum_1^\infty 1/n$: $$ 1 +\frac 12 + \frac 13 + \cdots + \frac 1n = \log(n) + \gamma + o(1) \quad [n \to \infty], $$ donde $\gamma$ es la constante de Euler, entonces podríamos reescribir $$ 1-\frac 12 + \frac 13 - \frac 14 + \cdots + (-1)^{n-1} \frac 1n = \sum_1^n \frac 1j - 2 \sum_1^{\lfloor n/2\rfloor} \frac 1k, $$ y el uso de la estimación asintótica de arriba para obtener el resultado.

ACTUALIZACIÓN

Solución. $\blacktriangleleft$ Deje $s_n = \sum_1^n (-1)^{k-1} f(k/n)$. A continuación, $-L = \lim s_n$ si $s_n$ converge.

Considere la posibilidad de $s_{2n}$. Por el parecido de la operación anterior, $$ s_{2n} = \frac 1{2n}\left(f\left( \frac 1{2n}\right) + f\left(\frac 2{2n} \right)+ \cdots + f\left(\frac {2n}{2n} \right) \right) - 2 \cdot \frac 1 {2n} \left( f \left( \frac 1n\right)+ f \left(\frac 2n\right) + \cdots + f\left(\frac nn\right) \right). $$ Desde $f \in \mathcal C[0,1]$, $f \in \mathcal R[0,1]$. Entonces $$ \lim s_{2n} = \lim_n \frac 1{2n} \sum_1^{2n} f\left( \frac j{2n}\right) - \lim_n \frac 1n \sum_1^n f \left(\frac jn \right) = \int_0^1 f - \int_0^1 f = 0. $$ Ahora para $s_{2n+1}$, $$ s_{2n+1} = \frac 1 {2n+1} \sum_1^{2n+1} f \left( \frac j{2n+1} \right) - \frac 2 {2n+1} \sum_1^n f \left( \frac {2j}{2n+1}\right). $$ Claramente, $$ \frac {j-1}n \leqslant \frac {2j}{2n+1} = \frac j {n+1/2} \leqslant \frac jn, $$ donde la primera desigualdad se cumple porque de $$ \frac {j-1}n \leqslant \frac {2j}{2n+1} \iff (j-1)(2n+1) \leqslant 2jn \iff -(2n+1) + j \leqslant 0 \quad [j \leqslant n]. $$ Por lo tanto $(1/n)\sum_1^n f(2j/(2n+1))$ es una suma de Riemann w.r.t. para la partición de $\{0, 1/n, 2/n, \ldots, 1\}$. Entonces $$ \lim s_{2n+1} =\lim \frac 1{2n+1} \sum_1^{2n+1} f \left( \frac j {2n+1}\right) - \lim \frac {2n}{2n+1} \cdot \lim \frac 1n \sum_1^n f\left( \frac {2j}{2n+1}\right) = \int_0^1 f - \int_0^1 f = 0. $$ Por lo tanto, $s_n$ es una secuencia que $\lim s_{2n} = \lim s_{2n+1} = 0$. De manera concluyente, $L = 0$. $\blacktriangleright$

Parece que $f \in \mathcal R [0,1]$ puede ser suficiente.

Answer 3

Si$f$ es continuo en$[0,1]$ es uniformemente continuo; para cualquier$n\geq 1$ deje$$\Delta_n = \sup_{\substack{x,y\in[0,1]\\|x-y|\leq \frac{1}{n}}}\left|f(x)-f(y)\right|$ $ y$M=\sup_{x\in[0,1]}\left|f(x)\right|$. Por la desigualdad del triángulo$$ \left|\sum_{k=1}^{n}(-1)^k f\left(\tfrac{k}{n}\right)\right| \leq M + \frac{n}{2}\Delta_n $ $ y desde$\Delta_n \to 0$ como$n\to +\infty$, el límite deseado es cero.