Espacio tangente del grupo Heisenberg

Question

Vamos a H$_{3}$(R) denota el grupo de Heisenberg de 3 x 3 real de las matrices. Para cualquier Un $\in$ H$_{3}$(R) tal que

A = $\left( \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ , $\exists$ a continuous path A(t), 0 $\leq$ t $\leq$ 1, from I to A given by

A(t) = $ \left( \begin{array}{ccc} 1 & a(t) & b(t) \\ 0 & 1 & c(t) \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ .

Vamos a v el vector tangente de A(t) en la identidad (t=0), entonces v= $\frac{d}{dt}$ A(t)|$_{t=o}$.

No

v = A'(0) = $ \left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac {d}{dt}0 & \frac{d}{dt}0 \\ 0 & 1 & \frac{d}{dt}0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ = $ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ ?

Si esto es correcto, entonces es el espacio de la tangente de H$_{3}$(R) de la norma, se ortonormales base de R$^3$?

(Disculpas si este es horriblemente falaz, soy nuevo en el álgebra de la mentira)

Answer 1

La notación $A'(0)$ no significa "diferenciar la constante $A(0)$." En efecto, si se diferencian en una constante, siempre obtendrá $0$. (En este caso, se obtiene la matriz cero, por lo que incluso el $1$s en la diagonal no tendría sentido. Por otra parte, la matriz de identidad no es "el estándar ortonormales base de $\mathbb{R}^3$"; sus columnas son, pero eso es totalmente irrelevante. El espacio de la tangente de $H_3(\mathbb{R})$ consistirá de matrices, no de los vectores columna.)

Más bien, $A'(0)$ significa que "diferenciar $A(t)$, a continuación, conecte $t=0$."

Así que si usted tiene un camino diferenciable $A(t)$, cada una de las $a(t),b(t),c(t)$ debe ser diferenciable, y

$$ A'(t)= \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} 1 & a(t) & b(t) \\ 0 & 1 & c(t) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a'(t) & b'(t) \\ 0 & 0 & c'(t) \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

A continuación, conecte $t=0$ en este.

Answer 2

No. Elegir un camino de $\gamma$ compuesto de matrices y pasando a través de la identidad; formalmente, $\gamma : (-r,r) \to H_3 (\Bbb R)$ $\gamma (0) = 1$ ($3 \times 3$ matriz identidad, y algunos $r>0$). Escrito en componentes, $\gamma (t) = \begin{pmatrix} 1 & a(t) & b(t) \\ 0 & 1 & c(t) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Ahora, el espacio de la tangente en a $1$ $H_3 (\Bbb R)$ se compone de los vectores tangente a $t=0$ de todas estas curvas, es decir, los vectores $\gamma ' (0) = \begin{pmatrix} 0 & a'(0) & b'(0) \\ 0 & 0 & c'(0) \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Desde $a$, $b$ y $c$ son arbitrarias, sus derivados en $0$ será arbitrario. Por lo tanto, llamándolos $u,v,w$, se deduce que el espacio de la tangente que usted es después de que se compone de las matrices de $\begin{pmatrix} 0 & u & v \\ 0 & 0 & w \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$u,v,w \in \Bbb R$.