∀A (A ∈F → x ∈ A) versus ∀A (A ∈F∧x ∈ A)

Question

Esta pregunta surgió durante la lectura de Velleman Cómo demostrarlo en la sección 2.3. Para el contexto, la definición de los ∩F es { x |∀A ∈F(x ∈ A)}={ x |∀A(A ∈F → x ∈ A)} ∪F es { x |∃A ∈F(x ∈ A)}={ x |∃A(A ∈F∧x ∈ A)}. F es una familia de conjuntos.

La cuestión, sin embargo, no tiene mucho que ver con estas definiciones de lo que se hace con el título y una más generalizado problema de estas dos declaraciones cuando se utiliza con respecto a los conjuntos. ¿Por qué es la definición para ∩F definido como ∀A(A ∈F → x ∈ a), pero no ∀A(A ∈F∧x ∈ A)? No se que tanto diciendo la comprobación de las mismas condiciones: que pertenece a F y x pertenece a Una?

Entiendo por que no son de la misma mediante la transformación de la definición para ∩F en una instrucción lógica: ∀A(A no pertenece a F o x pertenece a a), que es, obviamente, diferente a ∀A(A ∈F∧x ∈ A).

Supongo que solo me falta convencer a algunos de una manera u otra, de una instrucción lógica.

Answer 1

$\forall A(A\in F\land x\in A)$ solo puede ser cierto si todo es un elemento de$F$, lo cual no es el caso. Así que esa definición le daría lo mismo que$\{ x\ \mid \text{false}\}$, que es el conjunto vacío sin importar qué$F$ sea.

Answer 2

(No es una respuesta directa a la pregunta).

Para la mayoría de los casos, tenemos ese$\cap F\subseteq\cup F$ excepto cuando$F=\emptyset$. En ese caso,$\cap F=$ universal set mientras que$\cup F=\emptyset$. Presta atención a este caso especial.

Puede hacer un experimento e intentar considerar el caso:$F=\{A_1, A_2, A_3\}$. Luego, observará que$\cap F=A_2\cap A_2\cap A_3$ y$\cup F = A_1 \cup A_2 \cup A_3$.