Pero

Question

Deje $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ser estrictamente creciente en función tal que $f(f(f(x)))=x$ , a continuación, por esto $f(x)=x.$ ¿el resultado fallar si dejamos caer la hipótesis de que f es estrictamente creciente? Me parece un ejemplo de esto si puedo cambiar el dominio y el codominio a $\mathbb{R}^2$ e $f=rotation \ by\ 120^o,$ pero no podría pensar de un mapa de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}.$ Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Deje que $g:\mathbb{R^1}\to\mathbb{R^2}$ sea un mapeo uno a uno (que existe, porque ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad). Ahora establezca $f=g^{-1}\circ F\circ g:\mathbb{R}^1\to\mathbb{R}^1$ , donde $F$ es la rotación de $120^\circ$ . Entonces el resultado no es verdadero: este es el contraejemplo deseado.

Answer 2

Defina $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=0$ y $f(x)=x$ para $x \not\in \{0,1,2\}$ .

Answer 3

Puede hacer que $f$ actúe como una permutación de 3 ciclos.

$f (x) = \begin{cases} 0 & \text{if %#%#% } \\ 1 &\text{if %#%#%} \\ -1 &\text{if %#%#%} \\ x &\text{otherwise} \end {casos}$

Supongo que también es posible hacer una versión continua de esto.

Answer 4

Si ustedes se permiten considerar la proyectiva de la línea (es decir, los reales con un punto en el infinito), entonces la función $$f(x) = \frac{1}{1-x}$$ es un buen continua de la solución al problema (aunque se tiene que tener sentido de "continua" para esta extensión de línea). Pierre Samuel, el libro de Geometría Proyectiva tiene una buena exposición de este alrededor de la página 58.

(Por cierto, esta respuesta fue inspirado por @DonaldSplutterwit elimina respuesta, aunque me podría haber tropezado en mí mismo, ya que he estado pensando acerca de la geometría proyectiva y mirando a Samuel el libro de hoy de todos modos. Gracias, Donald!)