¿Cómo demostrar que el proceso $Y_t$ es martingala?

Question

Hemos SDE $$dX_t = X_t(1-X_t)dW_t$$ where $W$ is standard Brownian motion and $X_0 = x_0 \en (0,1)$. Assume that holds $P(X_t \en (0,1))=1.$

Para cualquier $u$, podemos definir a la $f(x) = (\frac{x}{1-x})^u \sqrt{x(1-x)}$.

Así que primero tengo que demostrar que si tomamos $\lambda = u^2 - \frac{1}{4}$, para cualquier $u$ el proceso de $$Y_t = e^{\frac{-\lambda t}{2}}f(X_t)$$ es martingala local.

Esa parte me hizo. Pero ahora tengo que tomar compleja $u$. Si me tome $ui$ con parte real $u$, entonces el proceso de $Y_t$ es limitado y martingala. Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si $y>0$ es un número positivo y $u \in \mathbb{C}$ complejo, entonces

$$y^u = \exp(u \log(y)).$$

Ahora si $u = i v$ para $v \in \mathbb{R}$, entonces esto implica que

$$|y^u| = |\exp(i v \log(y))| \leq 1 \quad \text{for all $y>0$} \tag{1}$$

como $|e^{ix}|=1$ reales $x$. Dado que el proceso estocástico satisface, por supuesto, $X_t \in (0,1)$ , casi con toda seguridad, podemos usar $(1)$ para $y=X_t/(1-X_t)$ para obtener ese $|f(X_t)| \leq 1$ casi seguramente. En particular,

$$|Y_t| \leq |f(X_t)| \leq 1,$$

y esto demuestra que $(Y_t)_{t \geq 0}$ está acotada. Desde cualquiera limitada local martingala es un "verdadero" martingala está hecho, si usted puede demostrar que $(Y_t)_{t \geq 0}$ es una martingala local. Para probar esto, usted puede utilizar exactamente el mismo razonamiento que se hizo en el valor real de casos (es decir, aplicar la fórmula de Itô y comprobar que el proceso se puede escribir como una integral estocástica con respecto al movimiento Browniano).