¿Cómo puedo afirmar que no existe un límite unilateral?

Question

Tengo que encontrar el límite $$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+2x)\sin x}{\sqrt {x^3}} $$

Ahora, intenté usar la regla de L'Hôpital, pero no lleva a ninguna parte.

Tratando manualmente de convertir las funciones a otra forma tampoco parece ir a ninguna parte, así que determiné que el límite debe ser indefinido.

Sin embargo, no puedo probarlo. ¿Qué puedo hacer?

Answer 1

Una pista:

Utilice los hechos que (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+2x)}{2x} = 1$ , (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ y (3) $\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2}{\sqrt{x^3}} = 0$ para mostrar que el límite es $2\cdot 1\cdot 0 = 0$ .

Para ello, reescribe, para $x>0$ , $$ \frac{\ln(1+2x)\sin x}{\sqrt{x^3}}=2\cdot \frac{\ln(1+2x)}{2x}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{x^2}{\sqrt{x^3}} $$

Answer 2

$$\frac{\ln(1+2x)\sin{x}}{\sqrt{x^3}}=\frac{\ln(1+2x)}{2x}\cdot\frac{\sin{x}}{x}\cdot2\sqrt{x}\rightarrow0.$$

Answer 3

Se sabe que

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}x=1$$ y $$\lim_{x\to 0^+}\frac{\log(1+x)}x=1=\lim_{x\to 0^+}\frac{\log(1+2x)}{2x}.$$

Entonces

$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+2x)\sin x}{\sqrt {x^3}}=1\cdot2\cdot\lim_{x\to 0^+} \sqrt x.$$

Answer 4

Si quieres, debes aplicar la regla de L'Hospital dos veces: $$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+2x)\sin x}{\sqrt {x^3}}=\\ \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{2}{1+2x}\sin x+\ln(1+2x)\cos x}{1.5\sqrt {x}}=\\ \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{-4}{(1+2x)^2}\sin x+\frac{2}{1+2x}\cos x+\frac{2}{1+2x}\cos x-\ln(1+2x)\sin x}{\frac{0.75}{\sqrt {x}}}=0. $$