Deje $(a_n)$ e $(b_n)$ ser de Cauchy secuencias de racionales. A continuación, $(a_nb_n)$ es una secuencia de Cauchy.
¿Mi intento de buscar multa o contener defectos lógicos/lagunas? Cualquier sugerencia es muy apreciada. Gracias por su ayuda!
Mi intento:
Lema: Si $(a_n)$ es una secuencia de Cauchy racionales, entonces para todos los $n \in \Bbb N$, $|a_n| < A$ para algunos $A \in \Bbb Q$.
Por el lema, no existe $A$ tal que $|a_n| < A$ e $|b_n| < A$ para todos los $n \in \Bbb N$.
Para un determinado $\epsilon >0$, toma un entero $N$ tal que $|b_n-b_m|<\dfrac{\epsilon}{2A}$ e $|a_n-a_m|<\dfrac{\epsilon}{2A}$ para todos los $n>N$.
$\begin{align} |a_nb_n-a_mb_m| &=|a_n(b_n-b_m) + b_m(a_n-a_m)|\\ &\le |a_n(b_n-b_m)| + |b_m(a_n-a_m)|\\ &= |a_n||b_n-b_m| + |b_m||a_n-a_m|\\ &< A\dfrac{\epsilon}{2A}+ A\dfrac{\epsilon}{2A}\\ &=\epsilon \end{align}$
Por lo tanto $(a_nb_n)$ es una secuencia de Cauchy.
