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Sea$(a_n)$ y$(b_n)$ las secuencias de racionales de Cauchy. Entonces$(a_nb_n)$ es la secuencia de Cauchy

Deje $(a_n)$ e $(b_n)$ ser de Cauchy secuencias de racionales. A continuación, $(a_nb_n)$ es una secuencia de Cauchy.

¿Mi intento de buscar multa o contener defectos lógicos/lagunas? Cualquier sugerencia es muy apreciada. Gracias por su ayuda!


Mi intento:

Lema: Si $(a_n)$ es una secuencia de Cauchy racionales, entonces para todos los $n \in \Bbb N$, $|a_n| < A$ para algunos $A \in \Bbb Q$.

Por el lema, no existe $A$ tal que $|a_n| < A$ e $|b_n| < A$ para todos los $n \in \Bbb N$.

Para un determinado $\epsilon >0$, toma un entero $N$ tal que $|b_n-b_m|<\dfrac{\epsilon}{2A}$ e $|a_n-a_m|<\dfrac{\epsilon}{2A}$ para todos los $n>N$.

$\begin{align} |a_nb_n-a_mb_m| &=|a_n(b_n-b_m) + b_m(a_n-a_m)|\\ &\le |a_n(b_n-b_m)| + |b_m(a_n-a_m)|\\ &= |a_n||b_n-b_m| + |b_m||a_n-a_m|\\ &< A\dfrac{\epsilon}{2A}+ A\dfrac{\epsilon}{2A}\\ &=\epsilon \end{align}$

Por lo tanto $(a_nb_n)$ es una secuencia de Cauchy.

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Ya Basha Puntos 130

Esto luce bien. Bien hecho.

Solo porque siempre hay espacio para mejorar, tengo una pequeña selección de liendres. Cuando tomas $N$ , puedes mencionar explícitamente que se garantiza que existe porque $a_n$ y $b_n$ son ambos Cauchy.

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