He estado leyendo los Colectores, Análisis Tensorial, y las Aplicaciones recientemente, y tengo una pregunta acerca de cómo construir un dos dimensiones integrable distribución en $SO(3)$.
Deje $M$ ser un colector, el Local Teorema de Frobenius dice que un subbundle $E$ de $TM$ es involutiva si y sólo si es integrable. Así que estoy tratando de construir dos campos vectoriales $ X, Y $ definido en abrir conjuntos de $SO(3)$ tal que $[X, Y]$ tomar valores en la distribución generada por $X, Y$.
Estos dos campos vectoriales $X, Y$ no se puede dejar invariante al mismo tiempo, de lo contrario se puede mover a la identidad, y $[X,Y]$ puede ser calculado directamente por la Mentira-soporte de $\mathfrak{so(3)}$. La identificación de $\mathfrak{so(3)}$ con $R^3$ por $$\left ( \begin{array} &0 & -c & b \\ c & 0 &-a \\ -b & a & 0\\ \end{array} \right ) \cong \left ( \begin{array} & a\\b\\c\\ \end{array} \right ) , $$ se verifica que para cualquier par de vectores linealmente independientes $v_1, v_2$ en $R^3$, $v_1 \times v_2$ no $span\{v_1, v_2 \}$, lo que significa que $[X, Y]$ no puede tomar valores en la distribución generada por $X, Y$.
Y me quedé atrapado aquí. Mis preguntas son:
- Para cualquier vector dado campos de $ X, Y $, cómo calcular $[X, Y]$ directamente, donde $X, Y$ no se supone que para ser de izquierda invariante;
- Hacer estas dos dimensiones integrable distribución de existir? Si sí, ¿cómo puedo construir? Si no, ¿cómo demostrar?
Cualquier sugerencia o comentario será de apreciar.
