Integración por partes preguntas. Cheque de trabajo

Question

Tengo un par de problemas que estoy tratando de trabajar a través. Estoy un poco atascado en 2. Aquí es lo que tengo?

1. $\int t \cdot e^{-3t} dt$

así que vamos a decir:

$$u = t \quad \text{and} \quad du = dt$$

$$dv = e^{-3t} \quad \text{and} \quad v = \frac{e^{-3t}}{-3}$$

así que de acuerdo a la integración por partes:

$$\begin{align*} \int t \cdot e^{-3t} dt &= t \cdot \frac{e^{-3t}}{-3} - \int \frac{e^{-3t}}{-3} dt \newline &= \frac{t}{-3} \cdot e^{-3t} - \frac{-1}{3} \frac{e^{-3t}}{-3} \newline &= \left(\frac{t}{3} - \frac{1}{9} \right) e^{-3t} \end{align*}$$

Esto es correcto?

2. $\int t^2 \sin (\beta t) dt$

Es $\beta $ una constante? ¿Qué es esta notación?

3. $\int \ln \sqrt{x} dx$

$$\int \ln \sqrt{x} dx = \int \ln x^{\frac{1}{2}} dx$$

así que vamos a tratar:

$$u = \ln{x^{\frac{1}{2}}} \quad \text{and} \quad du = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2x}$$

y

$$dv = dx \quad \text{and} \quad v = x$$

así $$\begin{align*} \int \ln \sqrt{x} dx = \ln x^{\frac{1}{2}} \cdot x - \int x dx = x \ln{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^2}{2} \end{align*}$$

¿Cómo buscar?

Answer 1

1. Le parecía haber perdido un signo menos de la integral en la línea 2.

$$- \int \frac{e^{-3t}}{-3} dt = - \frac{1}{-3}\frac{e^{-3t}}{-3} + c$$

2. Si no estado en la pregunta, entonces sí, $\beta$ es una constante. Siempre y cuando no digas eso $\beta$ es alguna función de $t$, ya que la integral es con respecto a $t$. Para esta pregunta es necesario integrar por partes dos veces, la elección de diferenciar la $t$ plazo cada vez.

3. Le parecía haber sustituido las variables equivocado.

$$= x\ln x^{\frac{1}{2}} - \int \frac{x}{2x} dx$$

Recuerde que $\int k\cdot f(x) dx$, donde $k$ es una constante es igual a $k\int f(x) dx$. En este caso dan cuenta de que $\log x^n = n\log x$. Esto debería hacer que sea un poco menos complicado.

Answer 2

1. Voy a revisar su trabajo por la integración de eso también, pero yo soy' vamos a hacerlo a mi manera. Aquí está mi solución:

$$ \begin{align} \int xe^{-3x} dx &=-\frac{1}{3}\int x\left(e^{-3x}\right)' dx\\ &=-\frac{1}{3}\left(xe^{-3x}-\int e^{-3x} x'dx\right)\\ &=-\frac{1}{3}\left(xe^{-3x}-\int e^{-3x} dx\right)\\ &=-\frac{1}{3}\left(xe^{-3x}-\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\int\left(e^{-3x}\right)'dx\right)\\ &=-\frac{1}{3}\left(xe^{-3x}+\frac{1}{3}e^{-3x}\right)\\ &=-\frac{1}{3e^{3x}}\left(x+\frac{1}{3}\right)\\ &=-\frac{1}{3e^{3x}}\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(3x+1\right)\\ &=-\frac{3x+1}{9e^{3x}}+C. \end{align} $$

WolframAlpha la solución es idéntica a la mía: enlace. Tu respuesta no es correcta. Y por favor recuerde que no siempre tiene que ser una constante de integración, $C$, al final de su respuesta.

2. Sí, es una constante, pero no sé a qué te refieres por "¿Qué es esta notación?".

3. $$ \begin{align} \int \ln \left(\sqrt{x}\right) dx &=\int \ln\left(\sqrt{x}\right) x'dx\\ &=x\ln\left(\sqrt{x}\right)-\int x \left[\ln\left(\sqrt{x}\right)\right]' dx\\ &=x\ln\left(\sqrt{x}\right)-\int x \frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}} dx\\ &=x\ln\left(\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\int dx\\ &=x\ln\left(\sqrt{x}\right)-\frac{x}{2}\\ &=x\left(\ln\left(\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\right)+C. \end{align} $$

Para hacer la integración por partes, yo sólo directamente utilizado esta fórmula, que es equivalente a la otra fórmula que usted está utilizando (el con $v$'s y $u$'s):

$$\int f(x) g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$$