Encontrar los números complejos $z$ tal que $w=\frac{2z-1}{2+iz}$ es real

Question

Encontrar los números complejos $z$ tal que $w=\dfrac{2z-1}{2+iz}$ es real.

He tratado de separar la parte imaginaria de la real, para poder cancelar la imaginaria. El problema es que, al manipular $w$ sólo parece ser mucho peor.

¿Algún camino a seguir?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\frac{2z-1}{2+iz}=\frac{2z-1}{2+iz}\,\frac{2-i\bar z}{2- i\bar z}=\frac{4z-2-i2|z|^2-i\bar z}{4+|z|^2+4\text{Im}(z)}$$

Ahora, responde a la pregunta "¿qué valores de $z$ hace que el numerador sea real?"

Answer 2

$$w=\frac{(2x-1)+iy}{(2-y)+ix}=\frac{[(2x-1)+iy][(2-y)-ix]}{(2-y)^2+x^2}$$

Multiplique por el numerador para obtener

$$(2x-1)(2-y)-i(2x^2-x)-i(2y-y^2)-xy$$

La parte imaginaria es $x-2x^2+y^2-2y$ . Al ponerlo a cero, se pueden completar las casillas en $x$ y $y$ para conseguir quizás una forma geométrica conocida....

$$-2\left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\right)+(y^2-2y+1)+\frac{1}{8}-1=0$$

$$(y-1)^2-2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{7}{8}$$