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Question

La integral $$\int x^x \ln x\, dx= ?$ $ que conozco de la integral $\int x^x dx$ puede simplificarse aún más como $\int e^{x\ln x} dx$ . Y esto requiere identidad para simplificar. ¿Qué pasa con el producto en la integral $\int x^x\ln x\,dx=\int e^{x\ln x}\ln x\, dx.$? ¿Hay alguna identidad para usar en este caso?

Answer 1

Define $g(x) = x^x$ . Luego $\ln g(x) = x\ln x$ y diferenciar ambos lados $$\frac{g'(x)}{g(x)}=\ln x+1,$ $ lo que significa $g'(x) = x^x(\ln x + 1)$ . Ahora, hasta una constante $$x^x = \int g'(x)\,dx = \int x^x \ln x \,dx + \int x^x\,dx$ $ por lo tanto $$\int x^x \ln x\,dx=x^x-\int x^x\,dx. $ $

Answer 2

$$\int x^x (\ln x +1-1) dx= \int e^{x\ln x}(\ln x+1)dx -\int x^x dx$ $ $$=\int e^{x\ln x} (x\ln x)'dx -\int x^x dx = e^{x\ln x}-\int x^x dx=x^x -\int x^x dx$ $ Ahora hay una manera de resolver la última integral.