Comparando Poliedros Toroidales De Cara Regular

Question

Muchas disculpas de antemano, no tengo idea de cómo frase esta pregunta, y de seguro voy camino de mi elemento. Voy a hacer mi mejor esfuerzo, pero por favor, ir fácil en mí.

Yo quería hacer una poliedros que estaba en la forma de un donut. Por alguna razón, pensé que sería genial si que poliedros había regulares-polígono de las caras. Con alguna línea de investigación, me encontré con estas cosas llamadas Stewart Toroides que eran aparentemente lo que yo estaba buscando. El problema era que todos ellos se veía... bien... feo? Creo que Stewart había algunas reglas para cómo hizo su toroides y que tal vez tenía algo que ver con la razón por la que realmente no se ven mucho como una rosquilla para mí.

De todos modos me puse a hacer mi propio, y hice algo que parecía más rosquilla. La conducción de la regla que yo solía hacer era intentar hacer cada vértice (donde se enfrenta a met) tan suave como sea posible, que me interpretarse en el sentido de que yo necesitaba para minimizar el cambio de ángulo entre todos los rostros. Creo que por ese mismo carácter (menos el cambio de ángulo entre las caras), no puede hacer mejor que esta forma (en el peor de cambio de ángulo es de 36 grados)

(lo siento, sé que las fotos son malas)

Así que supongo que mi pregunta es si alguna de que tiene sentido.

• Es bueno pensar en uno de los poliedros podría ser más "toro" que otro?
• ¿Hay una forma inteligente a medida que, o se trata meramente de una cosa subjetiva?
• ¿La idea de suavizar un poliedros ayudar realmente o es que realmente más estético?
• Es minimizar el ángulo entre caras adyacentes de la manera correcta para maximizar la suavidad?

EDIT: parece Que he atraído a un gran número de personas también interesadas en hacer más de estos poliedros, lo cual está bien, yo ciertamente había divertido hacer esta cosa. Pero la pregunta no es "¿puede hacer que estos poliedros", es "¿cómo podemos comparar con ellos?"

No hay nada que me impida hacer un toro con un millón de rostros cuadrados, que se aproxime a un toro de la misma manera que un montón de píxeles que puede aproximarse a un círculo. Lo que quiero saber es si las matemáticas nos dice cómo similares de dos formas, de tal manera que no puede ser un método oficial para la comparación de dos poliédrica donuts.

Answer 1

No estoy seguro de si esto le ayuda.

Para la construcción de un toro, tiene una superficie de curvatura negativa (en el interior), y un área de curvatura positiva (el exterior).

La red de curvatura de un toro es 0.

En cada vértice podemos sumar los ángulos y restar de $360$ (o $2\pi$) para encontrar que los vértices de la contribución al total de la curvatura.

usted necesita un aporte total de $720^\circ$ a partir de los vértices en el exterior, y $-720^\circ$ contribución de los vértices en el interior.

Si hemos utilizado sólo triángulos equiláteros, tenemos 12 vértices con 5 triángulos en estos vértices y 12 vértices con 7 triángulos en el vértice, (y algún número de los 6 triángulos en cada vértice).

Answer 2

Su volumen puede ser descrito como la asamblea de 6 llamada (pequeño) rhombicosidodecahedra (ver Figura de abajo) "cosido" juntos por decagonal basado en formas prismáticas

(copiado del sitio http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/zefiro1/_icosahedral_polyhedra_2007_11_15.htm ; en su fig. 3, se encuentra un cierto modo de generación).

Creo que tenemos hay un camino para la construcción de otras formas de uso de otros poliedros Arquimedianos, la costura modo de ser en algunos casos un poco diferente, por ejemplo mediante el uso de antiprisms (https://en.wikipedia.org/wiki/Antiprism) en lugar de formas prismáticas.

Un artículo de conexión sólidos Arquimedianos y, en particular, rhombicosidodecahedra a cuaterniones (véase la fig. 10) : https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0908/0908.3272.pdf

Answer 3

Poliedro Goldberg de 42 lados hecho con partes Zometool. Para la fuerza, hay una bola central, rayos hacia un icosaedro (azul), luego muchos rayos (amarillos) hacia el poliedro (pentágonos en azul, luego hexágonos con algunos lados azules y algunos rojos).

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