Hay casos en los que no existe una expectativa condicional normal. Según el ejercicio IX.4.1 de la obra de Takesaki Teoría de las álgebras de operadores , volumen 2, si $E:M\to A$ es una expectativa condicional normal y $M$ es atómico, entonces $A$ es atómico. Así, por ejemplo, si $M=B(L^2(X,\mu))$ y $A=L^\infty(X,\mu)$ para una medida difusa $\mu$ entonces no existe una expectativa condicional normal.
Sin el requisito de normalidad, siempre existe una expectativa condicional sobre una masa. Para ello consideremos la colección $\mathcal F$ de particiones finitas de 1 en $A$ (es decir, proyecciones $p_1,\ldots,p_n\in A$ con $\sum p_j=1$ ), ordenados por inclusión; esto lo convierte en una red. Porque $A$ es una masa, $\mathcal F'\cap M=A$ .
Dado cualquier $P=\{p_1,\ldots,p_n\}\in\mathcal F$ , defina $\phi_P:M\to M$ por $$ \phi_P(x)=\sum_{j=1}^n p_jxp_j. $$ Tenga en cuenta que $\phi_P(x)p_k=p_k\phi_P(x)$ para todos $k=1,\ldots,n$ . Los mapas $\phi_P$ son unitales y completamente positivos. En particular, la red $\{\phi_P\}_{P\in\mathcal F}$ está acotado, por lo que tiene puntos de cluster en la topología BW (convergencia puntual wot). Sea $\phi$ sea un punto de agrupación. Dada cualquier proyección $p\in A$ podemos considerar las particiones de la unidad que refinan $p$ Así que $p\phi_P(x)=\phi_P(x)p$ para todos $x\in M$ y todos $P\in\mathcal F$ que refinan $p$ . La subred que utilizamos para obtener $\phi$ contendrá eventualmente estas particiones, y así $p\phi(x)=\phi(x)p$ . Como podemos hacer esto para cualquier proyección $p\in A$ , obtenemos que $\phi(x)\in A'\cap M=A$ . Tenga en cuenta también que para $a\in A$ y cualquier $P\in\mathcal F$ tenemos $\phi_P(a)=a$ Así que $\phi(a)=a$ . Por último, cada $\phi_P$ es unital y completamente positivo, por lo que lo mismo ocurre con $\phi$ , que es entonces una expectativa condicional.
Akemann y Sherman han demostrado que si $A$ se genera individualmente (siempre es cierto cuando $H$ es separable) y la construcción anterior produce una expectativa condicional única, entonces dicha expectativa es normal. Esto demuestra que cuando $M=B(L^2(X,\mu))$ y $A=L^\infty(X,\mu)$ para una medida difusa $\mu$ La construcción anterior produce más de una expectativa. En este caso, la construcción se puede hacer más o menos explícita, y entonces se puede ver que en realidad hay infinitas.
