Cómo resolver los siguientes diferenciales lineales de diferencia de la ecuación?
$$\frac{da_{n}(t)}{dt}=i k na_{n}(t)+G\left\{n(n-1)a_{n-2}(t)-a_{n+2}(t) \right\},~n=0,1,2,\ldots~~~~~(1)$$
donde, k y G es una constante. Y $i$ es la unidad imaginaria. Las condiciones iniciales son $$a_{n}(0)=\delta_{mn}=\begin{cases} C_{0}~~(n=m) \\ 0~~(n\neq m) \end{casos}$$ where, $C_{0}$ es una constante. $a_{0}(t)$ e $a_{1}(t)$ se desconoce su función. Quiero encontrar a $a_{n}(t)$.
Si $k=0$, entonces la ecuación de $(1)$ reducir a la siguiente ecuación: $$ \frac{da_{n}(t)}{dt}=G\left\{n(n-1)a_{n-2}(t)-a_{n+2}(t) \right\},~n=0,1,2,\ldots.~~~~~(\mathrm{A}) $$
La solución general de la ecuación de $(\mathrm{A})$es $$ a_{n}(t)=C_{0}\frac{1}{\sqrt{\mathstrut 2\pi}}\left(\frac{n}{2} \right)!~\sqrt[]{\mathstrut 2^{n}}\left\{1+(-1)^{n+1} \right\}(\cosh{2 gt})^{-\frac{3}{2}}(\tanh{2 gt})^{-\frac{1}{2}(n-1)}.~~~~~(\mathrm{B}) $$ La ecuación de $(\mathrm{B})$ satisfacer las siguientes condiciones iniciales: $$ a_{n}(0)=\begin{cases} C_{0}~~(n=1) \\ 0~~~~~(n\neq 1) \end{casos} ~~~~~~~~~(\mathrm{C}) $$
He tratado de transformada de Laplace para equaton $(1)$.
Multiplicando ambos lados de la ecuación ( $(1)$ por $\mathrm{e}^{-st}$ y, a continuación, Integrando para el intervalo de $0$ a $\infty$ obtener $$ \int_{0}^{\infty}dt~\mathrm{e}^{st} \frac{da_{n}(t)}{dt}=i k n\int_{0}^{\infty}dt~\mathrm{e}^{-st}a_{n}(t)+G\left\{n(n-1)\int_{0}^{\infty}dt~\mathrm{e}^{-st}a_{n-2}(t)-\int_{0}^{\infty}dt~\mathrm{e}^{-st}a_{n+2}(t) \right\}.~~~~~(2) $$
Definimos la $U_{n}(s)$ $$ U_{n}(s):=\int_{0}^{\infty}dt~\mathrm{e}^{st}a_{n}(t).~~~~~(3) $$ Entonces la ecuación de $(2)$ a $$ sU_{n}(s)-a_{n}(0)=iknU_{n}(s)+ G\left\{n(n-1)U_{n-2}(s)-U_{n+2}(s) \right\}.~~~~~(4) $$ donde, se utiliza la siguiente integración por partes $$ \int_{0}^{\infty}dt~\mathrm{e}^{st}\frac{d a_{n}(t)}{dt}=sU_{n}(s)-a_{n}(0). $$
Vamos a resolver la ecuación de $(4)$ mediante el uso de Z-transformar.
En primer lugar, definimos unilateral Z-transformar $W(s,z)$ como sigue:
$$ \mathcal{Z}[U_{n}(s)]= W(s,z):=\sum_{n=0}^{\infty} U_{n}(s)z^{-n}.~~~~~(5) $$
Observando siguientes relaciones
La diferenciación y el retardo de Tiempo $$ \mathcal{Z}[n(n-1)U_{n-2}(s)]= 2z^{-2}W(s,z)-2z^{-1}\frac{\partial W(s,z)}{\partial z}+\frac{\partial^{2}W(s,z)}{\partial z^{2}}, ~~~~~~~~(6) $$ El tiempo de antelación $$ \mathcal{Z}[U_{n+2}(s)]=z^{2}W(s,z)-z^{2}U_{0}(s)-zU_{1}(s), ~~~~~~~~~(7) $$ El uso de propaty de $a_{n}(0)=\delta_{mn}$ $$ \mathcal{Z}[a_{n}(0)]=C_{0}z^{m}, ~~~~~~~~~~(8) $$
podemos transformar la ecuación de $(4)$ como sigue: $$ Gz^{2}\frac{\partial^{2}W(s,z)}{\partial z^{2}}+(-2G-ikz^{2})z\frac{\partial W(s,z)}{\partial z} +\left\{z^{2}(-Gz^{2}-s)+2G \right\}W(s,z)+Gz^{3}\left\{zU_{0}(s)+U_{1}(s) \right\} +C_{0}z^{-m+2}=0. ~~~~~~(9) $$ La ecuación de $(9)$ es algún tipo de ecuación de Bessel.
Estoy tratando de resolver la ecuación $(9)$.
