Demuestre que existe una matriz$B$ tal que$AB=BA$ y$B^2 = -I$.

Question

Deje $A$ ser un real $n \times n$ matriz sin real de los autovalores.

Demostrar que existe una verdadera matriz $B$ tal que $AB=BA$ e $B^2 = -I$.

Entiendo que $n$ es incluso y $A$ es un nonsingular de la matriz.

Answer 1

Es cierto. Suponemos que $n$ es incluso.

Deje $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$. Consideramos que el verdadero Jordan en la forma de $A$. Sus Jordania bloques están en la forma de esta $2r\times 2r$ matriz

$\begin{pmatrix}aI_2+bJ&I_2&0\cdots&0\\0&aI+bJ&I &0\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&\cdots&0&aI+bJ\end{pmatrix}$ where $a,b\in\mathbb{R},b\, no= 0$.

Esto es suficiente para demostrar la existencia de $B$ cuando $A$ se reduce a un bloque de Jordan.

Basta con elegir $B=diag(J_1,\cdots,J_r)$ donde $J_k=J$.