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El operador de multiplicación porx enL2(0,1) es isomorfo a su cuadrado

El siguiente es el Ejercicio II.8.7 de J. B. Conway es Un Curso en el Análisis Funcional.

Deje A:L2(0,1)L2(0,1) ser definido por (Af)(x)=xf(x) para f en L2(0,1) e x en (0,1). Mostrar que AA2.

Aquí AA2 significa que hay un unitaria isomorfismo U:L2(0,1)L2(0,1) tal que UAU1=A2. Supongo que debería construir una explícita isomorfismo, porque A no es compacto, y el autor no ha demostrado ninguna estructura teorema de no-compacto operadores todavía. Sin embargo, no sé cómo puedo encontrar un isomorfismo. Entiendo que L2(0,1) ha Hilbert base e2πinx, y he calculado la matriz de A con respecto a esta base, pero no puedo ver cómo AA2.

Todas las sugerencias serán apreciados!

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Deje VB(L2(0,1)) ser dada por Vf(x)=f(x)2x1/4. Este mapa es invertible: si Wg(x)=2xg(x2). A continuación, VW=WV=I, lo V es invertible. También, Por lo V es unitaria. También, VA^2f\,(x)=V(x^2f)\,(x)=\frac{x\,f(\sqrt x)}{\sqrt2\,x^{1/4}}=Fav\,(x). Por lo VA^2=AV, y, a continuación, VA^2V^*=A.

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