El operador de multiplicación por$x$ en$L^2(0,1)$ es isomorfo a su cuadrado

Question

El siguiente es el Ejercicio II.8.7 de J. B. Conway es Un Curso en el Análisis Funcional.

Deje $A:L^2(0,1)\to L^2(0,1)$ ser definido por $(Af)(x)=xf(x)$ para $f$ en $L^2(0,1)$ e $x$ en $(0,1)$. Mostrar que $A\cong A^2$.

Aquí $A\cong A^2$ significa que hay un unitaria isomorfismo $U:L^2(0,1)\to L^2(0,1)$ tal que $UAU^{-1}=A^2$. Supongo que debería construir una explícita isomorfismo, porque $A$ no es compacto, y el autor no ha demostrado ninguna estructura teorema de no-compacto operadores todavía. Sin embargo, no sé cómo puedo encontrar un isomorfismo. Entiendo que $L^2(0,1)$ ha Hilbert base $e^{2\pi inx}$, y he calculado la matriz de $A$ con respecto a esta base, pero no puedo ver cómo $A\cong A^2$.

Todas las sugerencias serán apreciados!

Answer 1

Deje $V\in B(L^2(0,1))$ ser dada por $$ Vf\,(x)=\frac{f(\sqrt x)}{\sqrt2\,x^{1/4}}. $$ Este mapa es invertible: si $$ Wg\,(x)=\sqrt{2x}\,g(x^2). $$ A continuación, $VW=WV=I$, lo $V$ es invertible. También, $$\tag1 \|Vf\|^2=\int_0^1\frac{|f(\sqrt x)|^2}{2\,x^{1/2}}\,dx=\int_0^1|f(u)|^2\,du=\|f\|^2. $$ Por lo $V$ es unitaria. También, $$ VA^2f\,(x)=V(x^2f)\,(x)=\frac{x\,f(\sqrt x)}{\sqrt2\,x^{1/4}}=Fav\,(x). $$ Por lo $VA^2=AV$, y, a continuación, $VA^2V^*=A$.